اختبار النسبة (رياضيات)
في الرياضيات ، اختبار النسبة (بالإنجليزية : Ratio test ) هو اختبار يحدد تقارب المتسلسلة
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}
من عدمه، حيث
a
n
{\displaystyle a_{n}
هو عدد حقيقي أو عقدي لا يساوي الصفر عندما يصير n كبيرا.[ 1] [ 2] [ 3] أول من نشر هذا الاختبار هو عالم الرياضيات الفرنسي لورن دالمبير .
الاختبار
شجرة القرار المتعلقة باختبار النسبة
يستعمل الشكل الاعتيادي لهذه الاختبار النهاية التالية:
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
.
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|.}
( 1 )
ينص الاختبار على ما يلي:
إذا كان L < 1 فإن المتسلسلة تتقارب مطلقا .
إذا كان L > 1 فإن المتسلسلة تتباعد .
إذا كان L = 1 أو لم تكن هذه النهاية موجودة، فإنه لا جدوى من هذا الاختبار لأن هناك متسلسلات متقاربات يحققن هذا الشرط ولكن هناك أيضا متسلسلات متباعدات أيضا يحققنه.
أمثلة
متقاربة لأن L < 1
لتكن المتسلسلة التالية :
∑
n
=
1
∞
n
e
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}
استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
n
e
n
|
=
1
e
<
1.
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}{\frac {n}{e^{n}\right|={\frac {1}{e}<1.}
بما أن هذه النهاية هي أصغر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتقارب.
متباعدة لأن L > 1
لتكن المتسلسلة التالية :
∑
n
=
1
∞
e
n
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}{n}.}
استعمال اختبار النسبة يعطي النهاية التالية :
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
=
e
>
1.
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}{n+1}{\frac {e^{n}{n}\right|=e>1.}
بما أن هذه النهاية هي أكبر قطعا من الواحد، فإن المتسلسلة تتباعد.
بدون جدوى لأن L = 1
لتكن المتسلسلات الثلاث التالية:
∑
n
=
1
∞
1
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}
∑
n
=
1
∞
1
n
2
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2},}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}.}
البرهان
In this example, the ratio of adjacent terms in the blue sequence converges to L=1/2. We choose r = (L+1)/2 = 3/4. Then the blue sequence is dominated by the red sequence rk for all n ≥ 2. The red sequence converges, so the blue sequence does as well.
∑
i
=
N
+
1
∞
|
a
i
|
=
∑
i
=
1
∞
|
a
N
+
i
|
<
∑
i
=
1
∞
r
i
|
a
N
|
=
|
a
N
|
∑
i
=
1
∞
r
i
=
|
a
N
|
r
1
−
r
<
∞
.
{\displaystyle \sum _{i=N+1}^{\infty }|a_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|a_{N+i}\right|<\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}|a_{N}|=|a_{N}|\sum _{i=1}^{\infty }r^{i}=|a_{N}|{\frac {r}{1-r}<\infty .}
انظر أيضا
مراجع
The article is a derivative under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License .
A link to the original article can be found here and attribution parties here
By using this site, you agree to the Terms of Use . Gpedia ® is a registered trademark of the Cyberajah Pty Ltd