تقابل تربيعي

في نظرية الأعداد، قانون التقابل التربيعي (بالإنجليزية: Quadratic reciprocity)‏ هي مبرهنة تتعلق بالحسابيات النمطية تعطي الشروط التي ينبغي تحقيقها من أجل أن تكون معادلة تربيعية ما بتردد عدد أولي ما قابلة للحلحلة.^[1][2] يعبر عن هذا القانون بصيغ مختلفة، ولكن أكثرها انتشارا هي كما يلي:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}\right)\left({\frac {q}{p}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}{\frac {q-1}{2}$

حيث p وq عددان أوليان فرديان مختلفان وحيث ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}\right)}$ يعني رمز لوجاندر، المعرف كما يلي:

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }n^{2}\equiv q{\bmod {p}{\text{ for some integer }n\\-1&{\text{Otherwise}\end{cases}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }\quad p\equiv 1{\bmod {4}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }\quad p\equiv 1{\bmod {3}\\\end{aligned}$

تسمى المبرهنة الأولى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.

• معيار أويلر