قانون تقابل مربعی قانون تقابل مربعی (به انگلیسی : Quadratic reciprocity نظریه اعداد از ریاضیات . با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.
p
{\displaystyle \;p}
اول و فرد و
a
{\displaystyle \;a}
عددی صحیح و نسبت به
p
{\displaystyle \;p}
همنهشتی
x
2
≡
a
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}{\mbox{ }
a
{\displaystyle \;a}
p
{\displaystyle \;p}
مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.
3
{\displaystyle \;3}
13
{\displaystyle \;13}
4
2
≡
3
(
mod
13
)
{\displaystyle 4^{2}\equiv 3{\pmod {13}{\mbox{ }
همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.
مانده‌های به پیمانه عدد اول
p
{\displaystyle \;p}
1
2
,
2
2
,
3
2
,
⋯
,
(
p
−
1
2
)
2
{\displaystyle 1^{2},2^{2},3^{2},\cdots ,({\frac {p-1}{2})^{2}
برای هر
p
{\displaystyle \;p}
p
−
1
2
{\displaystyle {\frac {p-1}{2}
p
{\displaystyle \;p}
اگر
p
{\displaystyle \;p}
a
{\displaystyle \;a}
(
a
,
p
)
=
1
{\displaystyle \;(a,p)=1}
(
a
p
)
{\displaystyle {\Biggl (}{\frac {a}{p}{\Biggr )}
1
{\displaystyle \;1}
a
{\displaystyle \;a}
p
{\displaystyle \;p}
−
1
{\displaystyle \;-1}
(
a
p
)
=
{
+
1
if
x
2
≡
a
(
mod
p
)
has a root
−
1
if
x
2
≡
a
(
mod
p
)
has no root
{\displaystyle {\Biggl (}{\frac {a}{p}{\Biggr )}={\begin{cases}+1\quad \quad {\mbox{if }x^{2}\equiv a{\pmod {p}{\mbox{ has a root}\\-1\quad \quad {\mbox{if }x^{2}\equiv a{\pmod {p}{\mbox{ has no root}\end{cases}
در همان مثال قبل می‌توان نوشت
(
3
13
)
=
1
{\displaystyle {\Biggl (}{\frac {3}{13}{\Biggr )}=1}
اگر
p
{\displaystyle \;p}
a
{\displaystyle \;a}
نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم
(
a
p
)
≡
a
p
−
1
2
(
mod
p
)
{\displaystyle {\Biggl (}{\frac {a}{p}{\Biggr )}\equiv a^{\frac {p-1}{2}{\pmod {p}
طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر
x
{\displaystyle \;x}
x
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}
0
≡
a
p
−
1
−
1
=
(
a
p
−
1
2
+
1
)
(
a
p
−
1
2
−
1
)
⇒
a
p
−
1
2
−
1
≡
0
or
a
p
−
1
2
+
1
≡
0
(
mod
p
)
{\displaystyle 0\equiv a^{p-1}-1=(a^{\frac {p-1}{2}+1)(a^{\frac {p-1}{2}-1)\Rightarrow a^{\frac {p-1}{2}-1\equiv 0{\mbox{ or }a^{\frac {p-1}{2}+1\equiv 0{\pmod {p}
اگر
a
{\displaystyle \;a}
x
{\displaystyle \;x}
a
≡
x
2
(
mod
p
)
{\displaystyle a\equiv x^{2}{\pmod {p}
a
p
−
1
2
≡
x
p
−
1
≡
1
(
mod
p
)
{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}
حال فرض کنید
g
{\displaystyle \;g}
ریشه اولیه
p
{\displaystyle \;p}
i
{\displaystyle \;i}
a
≡
g
i
(
mod
p
)
{\displaystyle a\equiv g^{i}{\pmod {p}
a
p
−
1
2
≡
g
i
×
(
p
−
1
)
2
{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}\equiv g^{\frac {i\times (p-1)}{2}
a
{\displaystyle \;a}
i
{\displaystyle \;i}
i
×
(
p
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {i\times (p-1)}{2}
p
−
1
{\displaystyle p-1\;}
بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن
g
{\displaystyle \;g}
g
i
×
(
p
−
1
)
2
≢
1
(
mod
p
)
{\displaystyle g^{\frac {i\times (p-1)}{2}\not \equiv 1{\pmod {p}
a
p
−
1
2
≡
−
1
(
mod
p
)
{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}\equiv -1{\pmod {p}
اگر
p
{\displaystyle \;p}
q
{\displaystyle \;q}
(
p
q
)
×
(
q
p
)
=
(
−
1
)
(
p
−
1
2
)
(
q
−
1
2
)
{\displaystyle {\Biggl (}{\frac {p}{q}{\Biggr )}\times {\Biggl (}{\frac {q}{p}{\Biggr )}=(-1)^{({\frac {p-1}{2})({\frac {q-1}{2})}
دو پرانتز ظاهر شده در توان
−
1
{\displaystyle \;-1}
کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی ، رؤیا بهشتی زواره ، انتشارات فاطمی
