Cassinijev oval

Cassinijev oval je kriva četvrtog reda, koja se može definirati kao geometrijsko mjesto tačaka koje zadovoljavaju uslov da je konstantan proizvod njihove razdaljine od dvije fiksne tačke. Kriva je imenovana prema astronomu Giovanniju Domenicu Cassiniju, koji ju je proučavao 1680. Cassini je pogrešno smatrao da ta kriva tačnije predstavlja kretanje Zemlje.

Neka su ${\displaystyle Q_{1}$ i ${\displaystyle Q_{2}$ dvije fiksne tačke u ravni i neka je ${\displaystyle a}$ neka konstanta. Kasinijev oval sa fokusima ${\displaystyle Q_{1}$ i ${\displaystyle Q_{2}$ se definiše kao proizvod udaljenosti neke tačke ${\displaystyle P}$ od ${\displaystyle Q_{1}$ i od ${\displaystyle Q_{2}$ i pretpostavlja se da je ${\displaystyle a^{2}$ tj:

${\displaystyle \operatorname {d} (Q_{1},P)\times \operatorname {d} (Q_{2},P)=a^{2}.\,}$

Neka su fokusi u ${\displaystyle F_{1}(-c,0)}$ i ${\displaystyle F_{2}(c,0)}$. Uzmimo proizvoljnu tačku ${\displaystyle M(x;y)}$ i nađimo rastojanja od nje i pretpostavimo da je to konstanta ${\displaystyle a^{2}$.

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}$

${\displaystyle d_{1}\cdot d_{2}=a^{2}$

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}=a^{2}$

${\displaystyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$

${\displaystyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Pođemo li od oblika u pravougaonim koordinatama

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

zamjenom

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}$ dobijamo

${\displaystyle {\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}$

${\displaystyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$

(${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha }$)

${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Jednačina Cassinijevog ovala ima dva nezavisna parametra;

${\displaystyle c}$ polovina udaljenosti između dva fokusa i

${\displaystyle a}$, čiji kvadrat predstavlja proizvod udaljenosti od bilo koje tačke do fokusa.

Međusobni odnos parametara određuje oblik Cassinijevog ovala, tako da postoji više različitih oblika u zavisnosti od kvocijenta dva parametra

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}=\infty }$ kriva se pretvara u dvije tačke.
• ${\displaystyle \textstyle 1<{\frac {c}{a}<\infty }$ kriva se raspada na dva ovala, koji liče na dva jajeta
• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}=1}$, тј. ${\displaystyle \textstyle a=c}$, oval se tada pretvara u Bernulijevu lemniskatu
• ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}<{\frac {c}{a}<1}$, tj. ${\displaystyle \textstyle c<a<c{\sqrt {2}$,nastaju 4 pregibne tačke
• ${\displaystyle \textstyle 0<{\frac {c}{a}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}$, тј. ${\displaystyle \textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}$ kriva postaje oval
• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}=0}$, тј. ${\displaystyle \textstyle c=0}$ и ${\displaystyle \textstyle a\neq 0}$ па крива постаје круг.
• Radijus zakrivljenosti u polarnim koordinatama je

${\displaystyle R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }={\frac {2a^{2}\rho ^{3}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}$

• Cassini Ovals
• Cassinian Ovals Arhivirano 17. 8. 2011. na Wayback Machine