Ovale di Cassini

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti ${\displaystyle P}$ del piano tali che, considerati due punti del piano fissati ${\displaystyle F_{1}$ e ${\displaystyle F_{2}$ è costante il prodotto della distanza di ${\displaystyle P}$ da ${\displaystyle F_{1}$ per la distanza di ${\displaystyle P}$ da ${\displaystyle F_{2}.}$ Formalmente, se denotiamo con ${\displaystyle d(A,B)}$ la distanza tra due punti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:

${\displaystyle d(F_{1},P)d(F_{2},P)=b^{2}$

nella quale ${\displaystyle b}$ è un reale positivo.

I punti ${\displaystyle F_{1}$ e ${\displaystyle F_{2}$ sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano ${\displaystyle F_{1}=(a,0)}$ e ${\displaystyle F_{2}=(-a,0),}$ per un reale positivo ${\displaystyle a,}$ i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.}$

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}$

e

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}.}$

Un'equazione equivalente in coordinate polari è

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.}$

La forma dell'ovale dipende dal rapporto ${\displaystyle b/a.}$ Quando ${\displaystyle b/a}$ è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando ${\displaystyle b/a}$ è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando ${\displaystyle b/a=1,}$ il luogo si riduce a una lemniscata.

Se ${\displaystyle a=b,}$ la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per ${\displaystyle x=\pm i,}$ ${\displaystyle y=1}$ e ${\displaystyle z=0}$ e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo ${\displaystyle ax}$ con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle ay}$ con ${\displaystyle y,}$ otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+1)^{2}-4x^{2}=b^{4}$

che ha come j-invariante

${\displaystyle j=16{\frac {(b^{8}-16b^{4}+16)^{3}{b^{16}(1-b^{4})}.}$

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze

${\displaystyle d(F_{1},P)+d(F_{2},P).}$

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ovale di Cassini

• (EN) Cassinian Archiviato il 17 agosto 2011 in Internet Archive. in MacTutor
• (EN) Cassini Ovals in MathWorld
• (EN) Cassini(an) oval 2Dcurves.com

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