Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje
sin
x
{\displaystyle \sin x}
i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 i 13 .
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n +1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).
U matematici , Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora . Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red , koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu .
Definicija
Taylorov red za neku neprekidnu funkciju
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku
a
{\displaystyle a}
jeste definiran ovako:
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
⋯
{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\cdots }
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}
Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:
T
(
x
1
,
⋯
,
x
d
)
=
∑
n
1
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
∂
n
1
∂
x
1
n
1
⋯
∂
n
d
∂
x
d
n
d
f
(
a
1
,
⋯
,
a
d
)
n
1
!
⋯
n
d
!
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
{\displaystyle T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}{\partial x_{1}^{n_{1}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}{\partial x_{d}^{n_{d}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}
U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:
T
(
x
)
=
f
(
a
)
+
∇
f
(
a
)
T
(
x
−
a
)
+
1
2
(
x
−
a
)
T
∇
2
f
(
a
)
(
x
−
a
)
+
⋯
{\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }
gdje je
∇
f
(
a
)
{\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}
gradijent , a
∇
2
f
(
a
)
{\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}
Hesseova matrica.
Primjeri
Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.
Maclaurinov red za (1 − x )−1 je geometrijski red
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}
tako da Taylorov red za x −1 u a = 1
1
−
(
x
−
1
)
+
(
x
−
1
)
2
−
(
x
−
1
)
3
+
⋯
.
{\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}
Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1 − x ), gdje log označava prirodni logaritam :
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
4
+
⋯
{\displaystyle x+{\frac {x^{2}{2}+{\frac {x^{3}{3}+{\frac {x^{4}{4}+\cdots \!}
a odgovarajući Taylorov red za log(x ) u a = 1 je
(
x
−
1
)
−
(
x
−
1
)
2
2
+
(
x
−
1
)
3
3
−
(
x
−
1
)
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2}{2}+{\frac {(x-1)^{3}{3}-{\frac {(x-1)^{4}{4}+\cdots .\!}
Taylorov red za eksponencijalnu funkciju
e
x
{\displaystyle e^{x}
u
a
=
0
{\displaystyle a=0}
je
1
+
x
1
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
⋯
=
1
+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
+
x
4
24
+
x
5
120
+
⋯
.
{\displaystyle 1+{\frac {x^{1}{1!}+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{4}{4!}+{\frac {x^{5}{5!}+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2}{2}+{\frac {x^{3}{6}+{\frac {x^{4}{24}+{\frac {x^{5}{120}+\cdots .\!}
Gornji izraz važi zato što je derivacija od e x također e x , a e 0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n ! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.
Konvergentnost
Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve
x
{\displaystyle x}
. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak,
R
n
(
x
)
=
f
(
x
)
−
T
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}
, konvergira prema 0.
Kada je
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
sama potencijalni red oko tačke
a
{\displaystyle a}
, onda je Taylorov red identičan sa njim.
Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija
Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni .
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
Dvije gornje krive postavljene zajedno.
Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente
x
{\displaystyle x\!}
.
Eksponencijalna funkcija :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}{n!}=1+x+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{3}{3!}+\cdots {\text{ za sve }x\!}
Prirodni logaritam :
log
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
za
|
x
|
≤
1
,
x
≠
1
{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}{n}{\text{ za }|x|\leq 1,\,x\not =1}
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
za
|
x
|
≤
1
,
x
≠
−
1
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}{n}{\text{ za }|x|\leq 1,\,x\not =-1}
Konačan geometrijski red :
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
za
x
≠
1
i
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}{1-x}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za }x\not =1{\text{ i }m\in \mathbb {N} _{0}\!}
Beskonačan geometrijski red:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za }|x|<1\!}
Varijante beskonačnih geometrijskih redova:
x
m
1
−
x
=
∑
n
=
m
∞
x
n
za
|
x
|
<
1
i
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {x^{m}{1-x}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za }|x|<1{\text{ i }m\in \mathbb {N} _{0}\!}
x
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za }|x|<1\!}
Kvadratni korijen :
1
+
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
n
!
2
4
n
x
n
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\sqrt {1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}x^{n}{\text{ za }|x|<1\!}
Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
za sve
|
x
|
<
1
i sve kompleksne
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve }|x|<1{\text{ i sve kompleksne }\alpha \!}
sa općenitim binomnim koeficijentima
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
.
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.\!}
Trigonometrijske funkcije :
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
za sve
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}-\cdots {\text{ za sve }x\!}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
za sve
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n)!}x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}-\cdots {\text{ za sve }x\!}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}{3}+{\frac {2x^{5}{15}+\cdots {\text{ za }|x|<{\frac {\pi }{2}\!}
gdje je B Bernoullijev broj.
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}{(2n)!}x^{2n}{\text{ za }|x|<{\frac {\pi }{2}\!}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}{\text{ za }|x|<1\!}
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
za
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{2n+1}x^{2n+1}{\text{ za }|x|\leq 1\!}
Hiperbolička funkcija :
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)!}=x+{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}+\cdots {\text{ za sve }x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
za sve
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}{(2n)!}=1+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}+\cdots {\text{ za sve }x\!}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
−
z
3
3
+
2
15
z
5
−
17
315
z
7
+
⋯
za
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3}{3}+{\frac {2}{15}z^{5}-{\frac {17}{315}z^{7}+\cdots {\text{ za }|x|<{\frac {\pi }{2}\!}
a
r
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}{\text{ za }|x|<1\!}
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
za
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{2n+1}{\text{ za }|x|<1\!}
Lambertova W funkcija:
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
za
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}{n!}x^{n}{\text{ za }|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }\!}
Brojevi B k , koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x ) i tanh(x ) predstavljaju Bernoullijev broj. E k u razvijanju sec(x ) je Eulerov broj .
Također pogledajte
Taylorov teorem
Laurentov red
Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
Newtonov polinom
Diferencijalna mašina
Teorem srednje vrijednosti
Vanjski linkovi