Distribució khi quadrat no central

El càlcul de la funció de densitat és laboriós i el separarem en 4 passos: Sigui ${\displaystyle J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )}$.

1r. pas. Demostrarem la descomposició $${\displaystyle J\quad {\overset {\mathcal {D}{=}\quad J_{1}+J_{2},}$$on ${\displaystyle J_{1}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )}$ , ${\displaystyle J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, ${\displaystyle J_{1}$ i ${\displaystyle J_{2}$ són independents, i ${\displaystyle {\overset {\mathcal {D}{=}$ vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).

2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de ${\displaystyle J_{1}$.

3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions ${\displaystyle \chi ^{2}$amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.

4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de ${\displaystyle J}$.

1r. pas. Escrivim $${\displaystyle J=(Z_{1}+\mu _{1})^{2}+\cdots +(Z_{k}+\mu _{k})^{2}.}$$El nostre objectiu és veure que tenim $${\displaystyle J\quad {\overset {\mathcal {D}{=}\quad (Z_{1}+{\sqrt {\lambda })^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2},\quad \quad (1)}$$on ${\displaystyle \lambda =\sum _{j=1}^{k}\mu _{k}^{2}$, i llavors definirem $${\displaystyle J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda })^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )\quad {\text{i}\quad J_{2}=Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}.}$$ Partim de les variables ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}$ independents, amb ${\displaystyle X_{j}\sim {\mathcal {N}_{k}(\mu _{j},1),\ j=1,\dots ,k}$. Considerem el vector aleatori normal multidimensional $${\displaystyle {\boldsymbol {X}=(X_{1},\dots ,X_{k})'\sim {\mathcal {N}_{k}({\boldsymbol {\mu },{\boldsymbol {I}),}$$on ${\displaystyle A'}$ vol dir la transposada de la matriu o vector ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }=(\mu _{1},\dots ,\mu _{k})'}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {I}$ és la matriu identitat de dimensió ${\displaystyle k}$. Notem que ${\displaystyle \delta ={\boldsymbol {\mu }'{\boldsymbol {\mu }=\Vert {\boldsymbol {\mu }\Vert ^{2}.}$ Considerem una matriu ortogonal ${\displaystyle {\boldsymbol {H}$ tal que la seva primera fila sigui ${\displaystyle \mu _{1}/{\sqrt {\delta },\dots ,\mu _{k}/{\sqrt {\delta }$ . Aquesta matriu pot construir-se partint del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }$, ampliant-ho a una base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}$, ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui $${\displaystyle {\boldsymbol {Y}={\boldsymbol {HX}\sim {\mathcal {N}_{k}{\big (}({\sqrt {\lambda },0,\dots ,0)',{\boldsymbol {I}{\big )}.}$$Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {H}$, $${\displaystyle {\boldsymbol {Y'Y}={\boldsymbol {X'X}=J,}$$d'on s'obté l'expressió (1).

2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de ${\displaystyle J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda })^{2}$ . La variable aleatòria ${\displaystyle J_{1}$ és la transformació d'una variable ${\displaystyle Y=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda })\sim {\mathcal {N}({\sqrt {\lambda },1)}$mitjançant la funció ${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )}$ donada per ${\displaystyle h(y)=y^{2}$; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives:$${\displaystyle h_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}\quad h_{2}:(-\infty ,0)\rightarrow (0,\infty )}$$definides ambdues per $${\displaystyle h_{1}(y)=h_{2}(y)=y^{2}.}$$Les inverses respectives són $${\displaystyle g_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}\quad g_{2}:(0,\infty )\rightarrow (-\infty ,0)}$$ $${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {x}\quad {\text{i}\quad g_{2}(x)=-{\sqrt {x}$$Aleshores la funció de densitat de ${\displaystyle J_{1}$ és $${\displaystyle f_{J_{1}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }{\Big (}e^{-({\sqrt {x}-{\sqrt {\lambda })^{2}/2}+e^{-(-{\sqrt {x}-{\sqrt {\lambda })^{2}/2}{\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}{\big )},\quad x>0.}$$3r. pas. Identificació de la distribució ${\displaystyle J_{1}$ de com una mixtura de distribucions ${\displaystyle \chi ^{2}$ amb pesos donats per una distribució de Poisson.

Designarem per ${\displaystyle f_{Y_{n}(x)}$ la funció de densitat d'una distribució ${\displaystyle \chi _{n}^{2}$. Notem que per una distribució ${\displaystyle \chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots }$ tenim $${\displaystyle f_{Y_{1+2j}(x)={\frac {x^{-1/2+j}e^{-x/2}{2^{1/2+j}\,\Gamma (1/2+j)}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)},\quad x>0.}$$D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és $${\displaystyle \cosh y=1+{\frac {y^{2}{2!}+{\frac {y^{4}{4!}+\dots =\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {y^{2j}{(2j)!}.}$$Aleshores, $${\displaystyle \cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}{\big )}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}{(2j)!}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}{2^{j}j!\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!}{\frac {x^{j}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}.}$$ Per tant, $${\displaystyle f_{J_{1}(x)}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}{\big )}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!}\,f_{Y_{1+2j}(x).}$$En conseqüència, ${\displaystyle J_{1}$ és una mixtura de distribucions${\displaystyle \chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots }$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda /2}$.

"4t." pas. Càlcul de la funció de densitat de ${\displaystyle J}$ . Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per ${\displaystyle M_{Y_{n}$ la funció generatriu d'una variable aleatòria ${\displaystyle Y_{n}\sim \chi _{n}^{2}$  :$${\displaystyle M_{Y_{n}(t)=E[e^{tY_{n}]={\frac {1}{(1-2t)^{n/2},\quad t\in (-\infty ,1/2).}$$Escrivim $${\displaystyle p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!},\ j=0,1,\dots }$$els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda /2}$ . Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de ${\displaystyle J_{1}$ és $${\displaystyle M_{J_{1}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{1+2j}(t).}$$Donada la independència entre ${\displaystyle J_{1}$ i ${\displaystyle J_{2}$ (vegeu el primer pas), tindrem que $${\displaystyle M_{J}(t)=M_{J_{1}(t)\,M_{J_{2}(t),}$$i atès que ${\displaystyle J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, ${\displaystyle M_{J_{2}=M_{Y_{k-1}$. Fent les operacions corresponents arribem a que

$${\displaystyle M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{k+2j}(t).}$$Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions${\displaystyle \chi _{k+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots }$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda /2}$. Llavors, la funció de densitat de ${\displaystyle J}$ és $${\displaystyle f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!}\,f_{Y_{k+2j}(x).}$$

Si desenvolupem ${\displaystyle f_{Y_{k+2j}$ tenim que la funció de densitat té l'expressió$${\displaystyle f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}{j!}\,{\frac {x^{k/2+j-1}\,e^{-x/2}{2^{k/2+j}\,\Gamma (k/2+j)}.}$$

D'altra banda, ${\displaystyle I_{k/2-1}{\big (}{\sqrt {\lambda x}{\big )}$ val

$${\displaystyle I_{k/2-1}{\big (}{\sqrt {\lambda x}{\big )}={\bigg (}{\frac {\sqrt {\lambda x}{2}{\bigg )}^{k/2-1}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda x/4)^{j}{j!\,\Gamma (k/2+j)},}$$

i només cal reagrupar els termes a ${\displaystyle f_{J}(x)}$

1. Existeix una única matriu definida positiva ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }^{1/2}$ tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {(}\Sigma ^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }$ ^[6] anomenada arrel quadrada de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }$; designem per ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }^{-1/2}$ la seva inversa.^[7] Per les propietats de les lleis normals multivariables,

$${\displaystyle {\boldsymbol {U}={\boldsymbol {\Sigma }^{-1/2}{\big (}{\boldsymbol {X}-{\boldsymbol {\mu }{\big )}\sim {\mathcal {N}_{d}({\boldsymbol {0},{\boldsymbol {I}_{d}).}$$ Llavors, $${\displaystyle {\boldsymbol {(X-\mu )'\Sigma ^{-1}(X-\mu )}={\boldsymbol {U'U}\sim \chi _{k}^{2}.}$$

2. Ara definim

$${\displaystyle {\boldsymbol {V}={\boldsymbol {\Sigma }^{-1/2}{\boldsymbol {X}\sim {\mathcal {N}_{d}({\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu },{\boldsymbol {I}_{d}).}$$ Llavors, $${\displaystyle {\boldsymbol {X'\Sigma ^{-1}X}={\boldsymbol {V'V}\sim \chi _{k}^{2}(\lambda ),}$$amb

$${\displaystyle \lambda ={\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }{\bigg )}'{\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }{\bigg )}={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }.}$$