A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.
Si la funció que es vol derivar,
, es pot escriure com
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
i
≠
, llavors la regla diu que la derivada de
és igual a:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9ead8551a0800fd3ea2dc90826db03d7880f13)
O de forma més precisa, per a tot
que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre
, amb
≠
; i, tal que
i
existeixen totes dues; llavors,
també existeix:
![{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0779043771999428ad8ffa2d1b117b46263b1e59)
Exemples
La derivada de
és
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b30b87772e7baabff43950d3d8859f1c1dff88) | ![{\displaystyle ={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1706afb81a2c828748e65f1874b48e1c4aecc5dd) |
| ![{\displaystyle ={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b387cf2ff60f49e57347c9f60cc411a8a72094) |
| ![{\displaystyle ={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3844fc5077bae102450e14962c00308f45cc0cb) |
A l'exemple de dalt, s'ha triat:
![{\displaystyle g(x)=4x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fe77b47e1f2a1f8dfe05f9967376b80ed4ddb9)
![{\displaystyle h(x)=x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a273c0fdf45f8ba60a95bc187ab74f4fad3bb36c)
De forma anàloga, la derivada de
(quan
≠ 0) és:
![{\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33a8c97afe86e4a2d3170778a2f956105def5b0)
Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.
Un altre exemple és:
![{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}{x^{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9207f3cb344e12a058dcfd07f393566fce3724d3)
on
i
, i
i
.
La derivada de
es determina tal com segueix:
![{\displaystyle f'(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c5a552db46b5ad878e9c550c9deca30166fc9b) | ![{\displaystyle ={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd36625272a75cb91ea24fc7bcd606c8192864d) |
| ![{\displaystyle ={\frac {4x^{4}-6x^{4}{x^{6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2114262888bb3b021cb6bbec7105d4ce7bd103) |
| ![{\displaystyle ={\frac {-2x^{4}{x^{6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edca154243066171141b4c03d3f08d0c4ca4103f) |
| ![{\displaystyle =-{\frac {2}{x^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07188548e8f8de69c6627714f2e5706a5828b572) |
Demostracions
A partir de la definició de derivada
- Suposant que
- on
≠ 0 i
i
són derivables.
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}-{\frac {g(x)}{h(x)}{\Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca3d8269580acf29b400e59de00497d072838f0)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be85334abb92dd1f323719ab818f116a9cd870d)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab84238a3d9af43905fa2ad128cf1cb819c38508)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c83b909c3f745eff2a404d1d2450a1d52595256)
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}{h(x)h(x+\Delta x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99aa94efa699a20044e530f97bdadb1e224c3c81)
![{\displaystyle ={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c16601cf130b96f4c90cc55f43ed97a7018699)
![{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c052044209e96b2824a60be415ce8d286e6b11c3)
A partir de la regla del producte
- Suposant que
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
![{\displaystyle g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e77ff2b992926cd5219bbe86b72532284e5e613)
![{\displaystyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c69a3f99df0643c07ed15cad08228952dfc8455)
La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que
sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar
del cantó dret de l'equació.
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2a72ad6728f99c9707ddbfb05a640a13bfaefa)
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a287a8ece3b3d094ff02189b476e1fe7d799c367)
De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}=g(x)[h(x)]^{-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9e477d1f018ec14f70616c51a6a808b45332d1)
I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar
:
![{\displaystyle f'(x)=g'(x)[h(x)]^{-1}+g(x)(-1)[h(x)]^{-2}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d985fb3984b09a52b3035e1012057367cf867ab3)
A partir de la regla de la cadena
Es considera la identitat
![{\displaystyle {\frac {u}{v}\;=\;{\frac {1}{4}\left[\left(u+{\frac {1}{v}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4555ad7d9e766c049029537a2ffb87e52593033e)
Llavors
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}\right)}{dx}\;=\;{\frac {d}{dx}{\frac {1}{4}\left[\left(u+{\frac {1}{v}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3230f86bb4053ec365b4a5395f0e022bdfbba2e7)
Porta a
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}\right)}{dx}\;=\;{\frac {1}{4}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}\right)\left({\frac {du}{dx}-{\frac {dv}{v^{2}dx}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}\right)\left({\frac {du}{dx}+{\frac {dv}{v^{2}dx}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f6a3953dd4438ffe6a97bf5627bb6584599e38)
Operant s'obté
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}\right)}{dx}\;=\;{\frac {1}{4}\left[{\frac {4}{v}{\frac {du}{dx}-{\frac {4u}{v^{2}{\frac {dv}{dx}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d0ecc7433bad875671fe1246d92d1b5cfa380)
Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}\right)}{dx}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}-u{\frac {dv}{dx}\right]}{v^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49667be4d37ce7ad1a348874e22737348a1d254f)
Emprant diferencials totals
Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,
![{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}dz+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe1dba09b8083172e332f2515e6c3d1de67115d)
De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i
, llavors han de ser veritat simultàniament que
- (*)
![{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fdf0bc445cc2bdbcf87d08af4a3cd9500316a5)
I que
.
Però sabent que
i
.
Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}dx={\frac {\partial F}{\partial N}N'(x)dx+{\frac {\partial F}{\partial D}D'(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b49dd451e199e7b8d0f17b7d0dadb19739f1666)
La qual requereix que
- (#)
.
Calculant les parcials de la dreta:
;
.
Si se substitueixen dins de (#),
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}={\frac {N'(x)}{D(x)}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bde50756d8b13ade0ddbcb67cb854fe11b0c350)
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}={\frac {D(x)N'(x)}{D(x)^{2}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75bee241247559d4a4f306e295dd796fc0b2e855)
La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),
.
Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.
Vegeu també