Antihermitovská matice má na hlavní diagonále ryze imaginární čísla, zapsána zeleně, a symetricky umístěné dvojice mají opačné reálné složky, zapsány purpurově, a shodné imaginární složky, zapsány oranžově. Antihermitovská matice [ 1] lineární algebře čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel , která je opačná ke své hermitovské transpozici . Reálné antihermitovské matice jsou antisymetrické .
Matice jsou pojmenovány po francouzském matematikovi Charlesi Hermiteovi (1822–1901).
Antihermitovské matice lze chápat jako komplexní verze reálných antisymetrických matic nebo jako maticovou analogii ryze imaginárních čísel. Množina všech antihermitovských matic řádu
n
{\displaystyle n}
Lieovu algebru
u
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {u}(n)}
unitární grupě
U
(
n
)
{\displaystyle U(n)}
lineární zobrazení na libovolném komplexním vektorovém prostoru se seskvilineární normou .
Definice
Čtvercová matice
A
∈
C
n
×
n
{\displaystyle {\boldsymbol {A}\in \mathbb {C} ^{n\times n}
A
=
−
A
H
=
−
A
¯
T
{\displaystyle {\boldsymbol {A}=-{\boldsymbol {A}^{\mathsf {H}=-{\overline {\boldsymbol {A}^{\mathsf {T}
Prvky antihermitovské matice splňují vztah:
a
i
,
j
=
−
a
j
,
i
¯
{\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}
Antihermitovské matice lze alternativně definovat jako komplexní čtvercové matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}
n
{\displaystyle n}
u
H
A
v
=
−
v
H
A
u
¯
{\displaystyle {\boldsymbol {u}^{\mathsf {H}{\boldsymbol {Av}=-{\overline {\boldsymbol {v}^{\mathsf {H}{\boldsymbol {Au}
u
,
v
∈
C
n
{\displaystyle {\boldsymbol {u},{\boldsymbol {v}\in \mathbb {C} ^{n}
Následující komplexní matice řádu 2 (kde symbol
i
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}
imaginární jednotku )
A
=
(
−
i
2
+
i
−
2
+
i
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} &2+\mathrm {i} \\-2+\mathrm {i} &0\end{pmatrix}
je antihermitovská, protože:
−
A
H
=
−
(
−
i
¯
2
+
i
¯
−
2
+
i
¯
0
¯
)
T
=
−
(
−
i
¯
−
2
+
i
¯
2
+
i
¯
0
¯
)
=
−
(
i
−
2
−
i
2
−
i
0
)
=
(
−
i
2
+
i
−
2
+
i
0
)
=
A
{\displaystyle -{\boldsymbol {A}^{\mathsf {H}=-{\begin{pmatrix}{\overline {-\mathrm {i} }&{\overline {2+\mathrm {i} }\\{\overline {-2+\mathrm {i} }&{\overline {0}\end{pmatrix}^{\mathsf {T}=-{\begin{pmatrix}{\overline {-\mathrm {i} }&{\overline {-2+\mathrm {i} }\\{\overline {2+\mathrm {i} }&{\overline {0}\end{pmatrix}=-{\begin{pmatrix}\mathrm {i} &-2-\mathrm {i} \\2-\mathrm {i} &0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} &2+\mathrm {i} \\-2+\mathrm {i} &0\end{pmatrix}={\boldsymbol {A}
Následující tři matice řádu 2:
(
i
0
0
−
i
)
↦
i
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&-\mathrm {i} \end{pmatrix}\mapsto \mathrm {i} }
(
0
1
−
1
0
)
↦
j
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\mapsto \mathrm {j} }
(
0
i
i
0
)
↦
k
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}\mapsto \mathrm {k} }
jsou antihermitovské mají nulovou stopu a lze jimi reprezentovat generátory kvaternionů
i
,
j
{\displaystyle \mathrm {i} ,\mathrm {j} }
k
{\displaystyle \mathrm {k} }
Vlastnosti
Prvky na hlavní diagonále antihermitovské matice splňují
a
i
,
i
=
−
a
i
,
i
¯
{\displaystyle a_{i,i}=-{\overline {a_{i,i}
Reálné složky tvoří antisymetrickou matici, imaginární složky symetrickou .
Součet komplexní čtvercové matice
M
{\displaystyle {\boldsymbol {M}
M
+
M
H
{\displaystyle {\boldsymbol {M}+{\boldsymbol {M}^{\mathsf {H}
Rozdíl čtvercové komplexní matice a její hermitovské transpozice
M
−
M
H
{\displaystyle {\boldsymbol {M}-{\boldsymbol {M}^{\mathsf {H}
komutátor dvou hermitovských matic antihermitovský.
Každou čtvercovou komplexní matici
M
{\displaystyle {\boldsymbol {M}
hermitovské matice
H
{\displaystyle {\boldsymbol {H}
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}
M
=
H
+
A
{\displaystyle {\boldsymbol {M}={\boldsymbol {H}+{\boldsymbol {A}
H
=
1
2
(
M
+
M
H
)
{\displaystyle {\boldsymbol {H}={\tfrac {1}{2}({\boldsymbol {M}+{\boldsymbol {M}^{\mathsf {H})}
A
=
1
2
(
M
−
M
H
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}={\tfrac {1}{2}({\boldsymbol {M}-{\boldsymbol {M}^{\mathsf {H})}
Pokud je matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}
skalární násobek
i
A
{\displaystyle \mathrm {i} {\boldsymbol {A}
hermitovský .
Vlastní čísla antihermitovských matic jsou ryze imaginární , případně nulová.Antihermitovské matice jsou normální a tudíž i diagonalizovatelné . Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou navzájem ortogonální.
V oboru reálných čísel se antihermitovské matice shodují s antisymetrickými. Reálné antisymetrické matice mohou být změnou báze převedeny do blokově diagonální formy s bloky typu
(
0
r
−
r
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&r\\-r&0\end{pmatrix}
r
∈
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
Pokud je
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}
k
{\displaystyle k}
A
k
{\displaystyle {\boldsymbol {A}^{k}
k
{\displaystyle k}
A
k
{\displaystyle {\boldsymbol {A}^{k}
Pokud je
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}
exponenciála
e
A
{\displaystyle e^{\boldsymbol {A}
unitární .
Komutátor antihermitovských matic je opět antihermitovský. Anrtihermitovské matice řádu
n
{\displaystyle n}
Lieovu algebru značenou
u
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {u}(n)}
u
(
n
)
=
{
M
∈
M
a
t
(
n
,
C
)
:
M
+
M
H
=
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {u}(n)=\left\{\boldsymbol {M}\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )\colon {\boldsymbol {M}+{\boldsymbol {M}^{\mathsf {H}=\mathbf {0} \right\}
Uvedená Lieova algebra odpovídá Lieově grupě unitárních matic:
U
(
n
)
=
{
A
∈
G
L
(
n
,
C
)
:
A
A
¯
T
=
I
n
}
{\displaystyle U(n)=\left\{\boldsymbol {A}\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\colon {\boldsymbol {A}{\overline {\boldsymbol {A}^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n}\right\}
Odkazy
Reference
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Schiefhermitesche Matrix Skew-Hermitian matrix
↑ MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. S. 227. Dostupné online .
Literatura
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra . 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1 HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online .
