Octagon

Octagon rheolaidd
Octagon rheolaidd
Ymylon a Fertigau	8
Symbol schläfli	{8} t{4}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grŵp cymesuredd	Deuhedrol (D8)
Arwynebedd (gyda t=hyd ymyl)	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2})t^{2}$ ${\displaystyle \simeq 4.828427t^{2}.}$
Ongl mewnol (gradd)	135°

Polygon wyth ochrog yw octagon mewn geometreg. Cynyrchiolir octagon rheolaidd gan y Symbol schläfli {8}.

Mae octagon rheolaidd yn octagon sydd â phob ochr o'r un hyd a phob ongl mewnol yr un maint. Mae ongl mewnol pob fertig octagon rheolaidd yn 135° ac mae swm yr holl onglau mewnol yn 1,080°.

Rhoddir arwynebedd octagon rheolaidd gydag ochr hyd a gan

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}a^{2}=2(1+{\sqrt {2})a^{2}\simeq 4.828427\,a^{2}.}$

Yn nhermau ${\displaystyle R}$, (circumradius) yr arwynebedd yw

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}R^{2}=2{\sqrt {2}R^{2}\simeq 2.828427\,R^{2}.}$

Yn nhermau ${\displaystyle r}$, (inradius) yr arwynebedd yw

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}r^{2}=8({\sqrt {2}-1)r^{2}\simeq 3.3137085\,r^{2}.}$

Yn naturiol, mae'r ddau gyfernod olaf yn cromfachu'r gwerth pi, sef ardal y cylch.

Gellir hefyd ganfod yr arwynebedd fel hyn:

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-B^{2}.}$

${\displaystyle S}$ yw rhychwant yr octagon, neu'r croeslin ail-fyraf; a ${\displaystyle B}$ yw hyd un o'r ochrau neu'r gwaelod. Gellir profi hyny'n hawdd gan gymryd octagon, a darlunio sgwâr o gwmpas y tu allan iddi (gan wneud yn siwr fod pedwar ochr o'r wyth yn cyffwrdd pedwar ochr y sgwâr), a gan gymryd y trionglau sy'n ffurfio'r corneli (trionglau 45-45-90) a'u gosod gyda'r onglau sgwâr yn pwyntio i mewn at ei gilydd gan ffurfio sgwâr. Mae ymylon y sgwâr hwn yr un maint a gwaelod yr octagon.

Gan gymryd y rhychwant ${\displaystyle S}$, hyd ochr ${\displaystyle B}$ yw

${\displaystyle S={\frac {B}{\sqrt {2}+B+{\frac {B}{\sqrt {2}=(1+{\sqrt {2})B}$

${\displaystyle S=2.414B}$

Yr arwynebedd felly yw

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2})B)^{2}-B^{2}=2(1+{\sqrt {2})B^{2}.}$

• (Saesneg) Sut i ganfod arwynebedd octagon
• (Saesneg) Diffiniad priodweddau octagon Gyda animeiddio rhyngweithiol