Pravilni osemkotnik
Nepravilni osemkotnik
Vbočeni osemkotnik
Ósemkótnik ali s tujko óktagon (starogrško octogōnos < octo - osem + gōnos - ki ima kote ) je v ravninski geometriji mnogokotnik z osmimi stranicami , osmimi oglišči in osmimi notranjimi koti .
Splošne značilnosti
V pravilnem osemkotniku so vse stranice in koti enaki , notranji kot pa znaša 3π/4 radianov , oziroma 135 stopinj . Pravilni osemkotnik je kot vsi pravilni mnogokotniki tetivni in hkrati tangentni mnogokotnik ter zato tudi bicentrični mnogokotnik . Vsota notranjih kotov v preprostem osemkotniku je enaka:
S
8
=
(
8
−
2
)
⋅
180
∘
=
1080
∘
.
{\displaystyle S_{8}=(8-2)\cdot 180^{\circ }=1080^{\circ }\!\,.}
Njegov Schläflijev simbol je {8}.
Polmer očrtane krožnice :
R
=
a
2
4
+
2
2
≈
1
,
306563
a
,
{\displaystyle R={\frac {a}{2}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}\approx 1,306563a\!\,,}
R
=
r
4
−
2
2
≈
1
,
082392
r
{\displaystyle R=r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}\approx 1,082392r\!\,}
in polmer včrtane krožnice :
r
=
a
2
(
1
+
2
)
≈
1
,
207107
a
,
{\displaystyle r={\frac {a}{2}(1+{\sqrt {2})\approx 1,207107a\!\,,}
r
=
R
2
2
+
2
≈
0
,
923880
R
.
{\displaystyle r={\frac {R}{2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}\approx 0,923880R\!\,.}
Dolžina stranice
a
{\displaystyle a\,\!}
je:
a
=
R
2
−
2
≈
0
,
765367
R
,
{\displaystyle a=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}\approx 0,765367R\!\,,}
a
=
2
r
(
2
−
1
)
≈
0
,
828427
r
.
{\displaystyle a=2r({\sqrt {2}-1)\approx 0,828427r\!\,.}
Razmerje polmerov:
R
r
=
4
+
2
2
1
+
2
=
4
−
2
2
=
2
2
+
2
≈
1
,
082392
.
{\displaystyle {\frac {R}{r}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}{1+{\sqrt {2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}\approx 1,082392\!\,.}
Obseg
Obseg pravilnega osemkotnika z dolžino stranice
a
{\displaystyle a\,\!}
je:
o
=
8
a
.
{\displaystyle o=8a\!\,.}
Ploščina
Ploščina pravilnega osemkotnika z dolžino stranice
a
{\displaystyle a\,\!}
je:
p
=
2
ctg
(
π
8
)
a
2
=
2
(
1
+
2
)
a
2
≈
4
,
828427
a
2
,
{\displaystyle p=2\,\operatorname {ctg} \,\left({\frac {\pi }{8}\right)a^{2}=2(1+{\sqrt {2})a^{2}\approx 4,828427a^{2}\!\,,}
oziroma s polmeroma:
p
=
4
sin
(
π
4
)
R
2
=
2
2
R
2
≈
2
,
828427
R
2
,
{\displaystyle p=4\sin \left({\frac {\pi }{4}\right)R^{2}=2{\sqrt {2}R^{2}\approx 2,828427R^{2}\!\,,}
p
=
8
tg
(
π
8
)
r
2
=
8
(
2
−
1
)
r
2
≈
3
,
3137085
r
2
.
{\displaystyle p=8\,\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{8}\right)r^{2}=8({\sqrt {2}-1)r^{2}\approx 3,3137085r^{2}\!\,.}
Zadnja dva koeficienta omejujeta vrednost števila π , ploščino enotskega kroga .
Ploščina pravilnega osemkotnika je dana tudi z:
p
=
d
2
2
−
a
2
,
{\displaystyle p=d_{2}^{2}-a^{2}\!\,,}
kjer je
d
2
{\displaystyle d_{2}
razpon osemkotnika, oziroma dolžina druge najdaljše diagonale . Razpon osemkotnika je enak:
d
2
=
a
2
+
a
+
a
2
=
(
1
+
2
)
a
,
{\displaystyle d_{2}={\frac {a}{\sqrt {2}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}=(1+{\sqrt {2})a\!\,,}
ploščina pa:
p
=
(
(
1
+
2
)
a
)
2
−
a
2
=
2
(
1
+
2
)
a
2
.
{\displaystyle p=((1+{\sqrt {2})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2})a^{2}\!\,.}
Konstrukcija
Pravilni osemkotnik lahko skonstruiramo z ravnilom in šestilom .
Uporabe osemkotnikov
V mnogih delih sveta imajo stop znaki obliko pravilnega osemkotnika.
Stikalo
Solnica
Zaboj z osnovno ploskvijo v obliki nepravilnega osemkotnika
Pladenj v obliki nepravilnega osemkotnika
Dežnik
Zvezda Lakšmi ima vrhove v obliki pravilnega osemkotnika
Rimski betonski obok v Rimu .
Viktorijin križec
Kupola cerkve Karmravor v Aštaraku
Osemkrako zvezdo, oktagram , s Schläflijevim simbolom {8/3}, očrtuje pravilni osemkotnik.
Racionalni približki pravilnih osemkotnikov, izpeljani iz Pellovih števil.
Ogliščno figuro pravilnega poliedra , velikega dirombikosidodekaedra, očrtuje nepravilni osemstrani zvezdasti mnogokotnik.
Osemstrana prizma ima za osnovni ploskvi dva osemkotnika.
Pokritje ravnine s prisekanim kvadratom ima ob vsakem oglišču 2 osemkotnika.
Prisekani kubični oktaeder ima 6 osemkotnikov.
Osemstrana antiprizma ima dva osemkotnika.
Penroseov osemkotnik.
Zunanje povezave
1-2-kotnika Trikotnik Štirikotnik 5-10-kotniki 11-20-kotniki 21-100-kotniki
štiriindvajsetkotnik
tridesetkotnik
štiridesetkotnik
petdesetkotnik
šestdesetkotnik
sedemdesetkotnik
osemdesetkotnik
devetdesetkotnik
stokotnik
Drugi Posebni/značilni Splošno Značilnosti Konstante