Hiperoperatoro

En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj:

${\displaystyle {\textrm {hyper}(a,n,b)={\textrm {hyper}n(a,b)=a^{(n)}b=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)}$

(Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj sagoĉenan notacion de Conway.)

La notacio povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":

• adicio (+)
• multipliko (×)
• potencigo (^)

Notu, ke ekzistas la rikuraj rilatoj:

• ${\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}$
• ${\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}$
• ${\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}$

Okazo de n=0 estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).

La rikura difino de la hiperoperatoro estas:

${\displaystyle {\textrm {hyper}(a,n,b)=\left\{\begin{matrix}b+1,&{\mbox{se }n=0\\a,&{\mbox{se }n=1,b=0\\0,&{\mbox{se }n=2,b=0\\1,&{\mbox{se }n\geq 3,b=0\\a^{(n-1)}(a^{(n)}(b-1))&{\mbox{se }n\geq 1,b\geq 1,a\geq 0\end{matrix}\right.}$

Ĉi tio donas jenon:

${\displaystyle \operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b=a+b}$

${\displaystyle \operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b=ab}$

${\displaystyle \operatorname {hyper3} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,3,b)=a^{(3)}b=a^{b}$

Por n=4 estas hyper4 aŭ supereksponento, superpotencigo aŭ potenca turo:

${\displaystyle {\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b=a\to b\to 2= \atop {\ }\!\!\!\!\!\!\!{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a} } \atop {b{\mbox{ kopioj de }a}$

La alia notacio por supereksponento estas

${\displaystyle \operatorname {hyper4} (a,b)={}^{b}a}$

Ekzemplo de uzo de la rikura difino:

${\displaystyle 3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2)=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))=3^{3^{3^{1}=3^{27}=7625597484987}$

La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por n>3, pro neasocieco en la "evidentaj" vojoj por fari ĝin.

Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de maldekstro dekstren. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)

${\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a}$

kun

${\displaystyle a_{(1)}b=a+b}$

${\displaystyle a_{(2)}0=0}$

${\displaystyle a_{(n)}0=1}$ por n>2

Pro tio ke

${\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}$

${\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}$

${\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}$

rezultiĝas ke ${\displaystyle a^{(n)}b=a_{(n)}b}$ por n≤3.

Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de hyper4:

${\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}$

Kial povas ${\displaystyle a^{(n)}b}$ esti la sama kiel ${\displaystyle a_{(n)}b}$ por n≤3, sed malsama por n>3? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.

• Akermana funkcio
• Supereksponento
• Supren-saga notacio de Knuth
• Sagoĉena notacio de Conway
• Notacio de Steinhaus-Moser

• Robert Munafo, La Vortaro de Grandaj Nombroj
• Studo de Lynz kaj Clarkkkkson (tre granda nombro) Arkivigite je 2008-09-08 per la retarkivo Wayback Machine