Zenbaki konplexu

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Zenbaki arruntak ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Zenbaki osoak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Zenbaki arrazionalak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Zenbaki konplexuak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Oktonioiak ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare batez osatutako zenbakiak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:

${\displaystyle a+ib\,}$, non i unitate irudikaria ${\displaystyle i^{2}=-1}$ propietatea betetzen duena den. ${\displaystyle z=a+ib\,}$ z zenbaki konplexuaren adierazpen binomikoa da. ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ bi zenbaki erreal dira, a: z-ren zati erreala eta b: z-ren zati irudikaria direla diogu eta ${\displaystyle a=Rez}$, ${\displaystyle y=Imz}$ idatzi ohi da.

Adibidez, hau zenbaki konplexua da: ${\displaystyle z={\sqrt {2}+{\sqrt {3}i}$, non ${\displaystyle {\sqrt {2}$ parte erreala eta ${\displaystyle {\sqrt {3}$ parte irudikaria den.

Zenbaki errealen multzoa zenbaki konplexuen parte dira. Zenbaki konplexuen multzoa ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }$ ikurarren bidez adieraziko dugu, eta honela definitu:

${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }=\{x+yi:x,y\in \mathbb {R} \}$

Zenbaki errealen hedapen gisa, horien eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezala, polinomio orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen multzoan.

Zenbaki konplexuak, (${\displaystyle \mathbb {C} }$) notazioaren bidez izendatuak, (${\displaystyle \mathbb {R} }$) zenbaki errealen luzapen bat dira, eta aljebraikoki itxitako gorputz bat osatzen dute^[1]. Bi zenbaki-multzoen artean, ${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ betetzen da, hau da: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ hertsiki edukia dago ${\displaystyle \mathbb {C} }$-en. Zenbaki konplexuek polinomioen erro guztiak hartzen dituzte bere baitan, errealek ez bezala. Zenbaki konplexu oro zenbaki erreal baten eta zenbaki irudikari baten batura gisa adieraz daiteke (unitate irudikariaren multiplo erreala dela, ${\displaystyle i}$ letraz adierazten dena, edo forma polarrean).

Zenbaki konplexuak aljebraren lan-tresna dira, analisia, baita matematika puru eta aplikatuen adarrak analisi konplexu gisa ere, ekuazio diferentzialak; integralen kalkulua errazten du aerodinamikan, hidrodinamikan eta elektromagnetismoan, garrantzi handiko beste batzuen artean. Gainera, zenbaki konplexuak nonahi erabiltzen dira matematikan, fisikaren arlo askotan (mekanika kuantikoan batez ere) eta ingeniaritzan, bereziki elektrikoan, elektronikoan eta telekomunikazioetan uhin elektromagnetikoak eta korronte elektrikoa irudikatzeko duten erabilgarritasunagatik.

Matematikan, zenbaki horiek gorputz bat osatzen dute, eta, oro har, planoaren (plano konplexuaren) puntutzat hartzen dira. Gorputz horrek zenbaki errealak eta irudikari puruak dauzka.

Hirugarren mailako ekuazio baten erroen emaitzaren formula orokorrak (funtzio trigonometrikorik erabili gabe) zenbaki negatibo baten erro karratuak ditu hiru erroak zenbaki errealak direnean, faktorizatuz zuzendu ezin den egoera bat erro arrazionalaren teoremaren laguntzaz polinomio kubikoa laburtezina bada (Kasus irredubilis deitutakoa). Enigma horrek eraman zuen Girolamo Cardano italiar matematikaria zenbaki konplexuak asmatzera 1545 inguruan^[2], ulerkuntza oso oinarrizkoa bazen ere.

Azkenean, polinomio orokorren arazoari buruzko lanak aljebraren oinarrizko teoremara eraman zuen, zeinak erakusten duen zenbaki konplexuen eremuan emaitza bat dagoela lehen graduko edo goragoko polinomio ekuazio bakoitzarentzat. Zenbaki konplexuek aljebraikoki itxitako gorputz bat osatzen dute, non edozein ekuazio polinomikok erro bat duen.

Matematikari askok lagundu zuten zenbaki konplexuak garatzen. Zenbaki konplexuen erroak batu, kendu, biderkatu eta ateratzeko arauak Rafael Bombelli matematikari italiarrak garatu zituen^[3], eta William Rowan Hamilton matematikari irlandarrak formalismo abstraktuagoa garatu zuen zenbaki konplexuetarako, abstrakzio hori koaternioien teoriara hedatuz.

Agian esan daiteke zenbaki negatiboaren erro karratuko erreferentzia iheskor goiztiarrena Heron Alexandriakoa I. mendeko matematikari greziarraren lanean agertzen dela. Bere Stereometrican, piramide-enbor baten bolumena, itxuraz akats baten ondorioz, kontuan hartzen du, ezinezkoa den soluzio batekin, Bere kalkuluetan, ${\displaystyle {\sqrt {81-144}=3i{\sqrt {7}$ amaierara iritsi zen, nahiz eta ez zen kopuru negatiborik sortzen matematika helenikoan, eta Heronek balio positibo beragatik (${\displaystyle {\sqrt {144-81}=3{\sqrt {7}$) ordeztu besterik ez zuen egin^[4].

Zenbaki konplexuak berezko gaitzat aztertzeko interesa XVI. mendean sortu zen lehen aldiz, italiar matematikariek polinomio kubiko eta kuartikoen erroetarako irtenbide aljebraikoak aurkitu zituztenean (Ikus Niccolò Fontana Tartaglia eta Girolamo Cardano). Laster ohartu ziren formula horiek (soluzio errealetan bakarrik interesatuta bazeuden ere), batzuetan, zenbaki negatiboen erro karratuak manipulatzea eskatzen zutela; adibidez, Tartagliaren formulan, ${\displaystyle x^{3}=px+q}$^{[Oh 1]} formako ekuazio kubiko baterako, ${\displaystyle x^{3}=x}$ ekuazioari honela ematen dio ebazpena:

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}\left(\left({\sqrt {-1}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}\right)^{-1/3}\right).}$

A priori, horrek zentzurik ez duela dirudi. Hala ere, zenbaki konplexuekin egindako kalkulu formalek erakusten dute ${\displaystyle z^{3}=i}$ ekuazioak ${\displaystyle -i}$, ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}{2}+{\tfrac {1}{2}i}$ eta ${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {3}{2}+{\tfrac {1}{2}i}$ soluzioak dituela. Tartagliaren formula kubikoan ${\displaystyle {\sqrt {-1}^{1/3}$ jarriz eta sinplifikatuz, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ eta ${\displaystyle -1}$ lortzen dira ${\displaystyle x^{3}-x=0}$-ren emaitza gisa. Jakina, ekuazio hori begi hutsez ebatz daiteke, baina erakusten du ezen, erro errealak dituzten ekuazio kubikoak ebazteko formula orokorrak erabiltzen direnean, zenbaki konplexuak erabiltzea (casus irreductibilis) saihestezina dela ondorengo matematikariek zorrotz frogatu zuten moduan. Rafael Bombelli izan zen ekuazio kubikoen soluzio, itxuraz paradoxiko, horiei esplizituki ekin zien lehena, eta problema hauek ebatzi nahi dituen aritmetika konplexurako arauak garatu zituen.

Kopuru horietarako irudikari terminoa René Descartesek asmatu zuen 1637an, eta, hain zuzen ere, bere irudimenezko izaera azpimarratzen saiatu zen^[5].

Beste nahasmendu-iturri bat izan zen ${\displaystyle {\sqrt {-1}^{2}={\sqrt {-1}{\sqrt {-1}=-1}$ ekuazioak ${\displaystyle {\sqrt {a}{\sqrt {b}={\sqrt {ab}$ identitate aljebraikoarekin bateraezina zirudiela ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ zenbaki erreal ez-negatiboetarako balio duena eta ${\displaystyle a}$ edo ${\displaystyle b}$ positiboren bat eta beste negatiboren bat duten zenbaki konplexuen kalkuluetan ere erabili zena. Identitate hori (eta horrekin lotutako ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {a}={\sqrt {\tfrac {1}{a}$ identitatea) oker erabiltzea, ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ negatiboak direnean, Euler bera ere kezkatu zuen. Zailtasun horrek, azkenean, ${\displaystyle {\sqrt {-1}$ sinboloaren ordez (${\displaystyle i}$) sinbolo berezia erabiltzeko konbentzioa ekarri zuen errore horretatik babesteko. Hala ere, Eulerrek naturaltzat jo zuen ikasleei zenbaki konplexuak gaur egun egiten dena baino askoz lehenago aurkeztea. Aljebrako elementuak izeneko oinarrizko aljebrari buruzko bere testuliburuan, ia berehala sartzen zituen zenbaki horiek, eta, gero, modu naturalean erabiltzen zituen.

XVIII. mendean, zenbaki konplexuek erabilera zabalagoa lortu zuten, bada, adierazpen konplexuen manipulazio formala funtzio trigonometrikoak eskatzen dituzten kalkuluak sinplifikatzeko erabil zitekeela nabaritu baitzen. Adibidez, 1730ean, Abraham de Moivrek ikusi zuen ezen angelu baten multiplo oso baten funtzio trigonometrikoak angelu horren funtzio trigonometrikoen potentziekin erlazionatzen dituzten identitate konplexuak berradieraz litezkeela, besterik gabe, haren izena daraman formula ezagun honen bidez, De Moivreren formula:

${\displaystyle (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )^{n}=\cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta .}$

1748an, Leonhard Euler harago joan, eta analisi konplexuaren Eulerren formula lortu zuen

(${\displaystyle \cos \theta +i\operatorname {sen} \theta =e^{i\theta }$)

potentzia konplexuen serieak formalki manipulatuz, eta formula hori edozein identitate trigonometriko askoz ere identitate esponentzial sinpleagoetara murrizteko erabil zitekeela ikusi zuen.

Zenbaki konplexu baten ideia, plano konplexuko puntu gisa, Caspar Wesselek deskribatu zuen lehen aldiz 1799an, nahiz eta, 1685ean, John Wallisen De Algebra tractatus lanean aurreratu.

Wesselen Memoriak Danimarkako Arte Ederren Errege Akademiaren aktetan agertu ziren, baina oharkabean pasa ziren. 1806an, Jean-Robert Argandek zenbaki konplexuei buruzko koadernotxo bat egin zuen bere aldetik, eta aljebraren oinarrizko teoremaren frogapen zehatza eman zuen. Lehenago, 1797an, Carl Friedrich Gauss-ek teoremaren froga, funtsean, topologiko bat argitaratu zuen, baina zalantzak adierazi zituen une horretan «−1-en erro karratuaren benetako metafisikari» buruz. 1831. urtera arte ez zituen zalantza horiek gainditu, eta zenbaki konplexuei buruzko tratatua planoko puntu gisa argitaratu zuen, hein handi batean, notazio eta terminologia modernoak ezarriz. XIX. mendearen hasieran, beste matematikari batzuek, modu independentean, zenbaki konplexuen irudikapen geometrikoa aurkitu zuten: Buée, Mourey, Warren, Français eta bere anaia, Bellavitis...^[6].

Godfrey Harold Hardy matematikari ingelesak adierazi zuenez, Gauss izan zen zenbaki konplexuak «modu benetan seguru eta zientifikoan» erabiltzen lehena, nahiz eta Niels Henrik Abel eta Carl Gustav Jakob Jacobi gisako matematikariek nahitaez errutinaz erabiltzen zituzten Gaussek 1831ko tratatua argitaratu aurretik^[7].

Augustin Louis Cauchy-k eta Bernhard Riemann-ek analisi konplexuari buruzko oinarrizko ideiak eman zituzten, amaiera-egoera handira igoz, Cauchyren kasuan 1825 inguruan hasita.

Teorian erabiltzen diren termino arruntak bere sortzaileei zor zaizkie batez ere. Argandek ${\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }$-ri norabide faktorea deitu zion, eta modulu, ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}$-ri; Cauchy (1828) ${\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }$-ri "forma murriztua" deitu zion (l'expression réduite), eta, itxuraz, argumentu terminoa sartu zuen; Gaussek ${\displaystyle i}$ erabili zuen ${\displaystyle {\sqrt {-1}$-rako, « terminoa sartu zuen zenbaki konplexu » ${\displaystyle a+bi}$-rentzat, eta ${\displaystyle a^{2}+b^{2}$-ri norma deitu zion. Direkzio koefizientea esamoldea, maiz ${\displaystyle \cos \theta +i\operatorname {sen} \theta }$-rako erabiltzen dena, Hankeli (1867) zor zaio, eta, moduluarentzat, balio absolutua Weierstrass-ri zor zaio.

Geroago, teoria orokorrari buruzko idazle klasikoen artean daude: Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Amandus Schwarz, Karl Weierstrass eta beste asko.

Funtzio analitikoei edo aldagai konplexuei lotutako zenbaki konplexuek kalkuluaren kontzeptua plano konplexura hedatzea ahalbidetu dute. Kalkulu aldagai konplexuak hainbat propietate aipagarri ditu, matematika aplikatuan hainbat emaitza erabilgarria lortzeko erabil daitezkeen propietateak dituztenak^[9].

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal bikote ordenatu izenez definitzen dira,

${\displaystyle z=(x,y)\,}$

Lehenengo zenbakiari, zati erreala deitzen zaio, eta, bigarrenari, zati irudikaria. Zenbaki errealak zenbaki konplexuen azpimultzo dira; a zenbaki erreala (a,0) zenbaki konplexu moduan idatz daiteke. (x,0) erako zenbakiei, erreal puruak deritze, eta (0,y) erakoei, irudikari puru. Horrela, i unitate irudikaria (0,1) zenbakia da.

Beste adierazpen era bat binomikoa da, gehien erabiltzen denetarikoa. Era honetan, bi zenbaki erreal erabiltzen dira i unitate irudikariarekin zenbaki konplexu bat eratzeko:

${\displaystyle z=x+iy\,}$

(x,y) pareak bana-banako korrespondentzia bat du plano bateko puntuekin, plano konplexua deiturikoa. Hau da, ardatz horizontala zati erreal gisa hartuz eta bertikala zati irudikari gisa, bertako puntuak (x,y) bikoteagatik definituak daude. Horrek ohiko era polarrean idaztea ahalbidetzen du, ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ eta ${\displaystyle y=r\sin \theta }$ baitira. z = (x,y) = x + iy idazteko beste era bat, beraz, polarra da:

${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,}$

r zenbaki konplexuaren modulua da, eta θ, argumentua:

${\displaystyle {\begin{cases}r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}\\\theta =\arg(z)=\arctan {\frac {y}{x}\end{cases}$

Zenbakiaren argumentuak infinitu balio du, θ eta θ + 2nπ, n = 0, ±1, … balioek planoan angelu berdina adierazten baitute. Argumentuak balio nagusi bat dauka, Arg(z) gisa adierazten dena, eta (-π,π] artean dagoen arg(z)ren balio bakarra da. Horrela, arg(z) = Arg(z) + 2nπ, n = 0, ±1, … da.

Eulerren formulak ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ erlazioa definitzen du. Formula horrekin, adierazpen polarra alda daiteke era esponentzialera:

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$

Zenbaki konplexuen arteko batura zenbaki errealen arteko baturan dago oinarrituta. Era binomikoan adierazitako zenbaki konplexu bakoitzak bere zati erreala eta zati irudikaria du. Bi zenbaki konplexu batzeko, alde batetik, zati errealak batu behar ditugu, eta, bestetik, zati irudikariak. Hori egitean, beste zenbaki konplexu bat lortuko dugu.

Hau da, bi zenbaki konplexuren batuketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ eta ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ bi zenbaki konplexu:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2})\,}$

Adibidez, , ${\displaystyle z_{1}=3+2i}$ eta ${\displaystyle z_{2}=-8+4i}$ zenbaki konplexuak batu nahi baditugu, hau lortuko dugu:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=(3+2i)+(-8+4i)=(3-8)+(2+4)i=-5+6i}$

Bi zenbaki konplexu kentzeko, alde batetik, zati errealak kenduko ditugu, eta, bestetik, zati irudikariak. Hau da, bi zenbaki konplexuren kenketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ eta ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ bi zenbaki konplexu:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})}$

Adibidez, , ${\displaystyle z_{1}=3+2i}$ eta ${\displaystyle z_{2}=-8+4i}$ zenbaki konplexuak kendu nahi baditugu, hau lortuko dugu:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}=(3+2i)-(-8+4i)=(3-(-8))+(2-4)i=11-2i}$

Batuketan adierazitako zenbaki berak erabiliz, biderketaren definizioa hurrengoa da:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\,}$

Definizio horretatik ikus daiteke i unitate irudikariaren karratua -1 zenbakia dela:

${\displaystyle i^{2}=ii=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1\,}$,

baita (x,y) parearen eta era binomialaren arteko baliokidetasuna ere:

${\displaystyle z=x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,0)+(0,y)=(x,y)\,}$

Zenbakiak era polarrean edo esponentzialean adierazita badaude, non ${\displaystyle r_{1},\theta _{1},r_{2},\theta _{2}$ bien modulu eta argumentuak diren, biderketak hurrengo itxura hartzen du:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}[\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\sin(\theta _{1}+\theta _{2})]=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}\,}$

Era horrek erraztasunak ditu irudikapen grafikoaren orduan, biderkaduraren modulua biderkagaien moduluen biderkadura baita, eta argumentua argumentuen batura. Biderketarekiko elementu neutroa (1,0) zenbakia da, eta biderketak lege trukakorra, elkarkorra eta batuketarekiko banakorra betetzen ditu:

• ${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}\,}$
• ${\displaystyle z_{1}(z_{2}z_{3})=(z_{1}z_{2})z_{3}\,}$
• ${\displaystyle z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}\,}$

Batuketak eta kenketak honako propietate hauek betetzen dituzte:

• Bi zenbaki konplexu batzean — edo kentzean— , emaitza era zenbaki konplexua izango da.

• Elkartze - propietatea: 3 zenbaki konplexu batzeko —edo kentzeko—, ez da beharrezko zenbakika modu espezifiko batean taldekatzea. Izan ere, ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}$

• Trukatze-propietatea: Zenbakien ordenak ez du emaitza aldatzen. Hau da, ${\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$
• Batuketarekiko elementu neutroa: Existitzen da ${\displaystyle 0_{\displaystyle \mathbb {C} }=(0+0i)\in {\displaystyle \mathbb {C} }$ non ${\displaystyle \forall z_{1}\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+0_{\displaystyle \mathbb {C} }=z_{1}$.
• Batuketarekiko alderantzizko zenbakia: ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa gehiketarekiko (simetrikoa), hau da:${\displaystyle \forall z_{1}=(x+yi)\in {\displaystyle \mathbb {C} },\exists -z_{1}=(-x-yi)\in {\displaystyle \mathbb {C} }:z_{1}+(-z_{1})=0_{\displaystyle \mathbb {C} }$

Izan bedi ${\displaystyle {\displaystyle z=(x,y)=x+yi\in {\displaystyle \mathbb {C} }$. ${\displaystyle z}$-ren konjokatua, ${\displaystyle {\bar {z}$ gisa idazten dena, honela definitzen da:

${\displaystyle {\bar {z}=x-yi}$

Adibidez, ${\displaystyle {\overline {3-i}=3+i}$ eta ${\displaystyle {\overline {2+5i}=2-5i}$.

Konjokatuaren propietateak:

• ${\displaystyle {\bar {\bar {z}=z}$
• ${\displaystyle z+{\bar {z}=2Rez}$, ${\displaystyle z-{\bar {z}=2iImz}$
• ${\displaystyle {\bar {z}=z\iff Imz=0\iff z\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle {\overline {z+w}={\bar {z}+{\bar {w}$
• ${\displaystyle {\overline {z\cdot w}={\bar {z}\cdot {\bar {w}$
• ${\displaystyle {\overline {(z/w)}={\bar {z}/{\bar {w}$
• ${\displaystyle {\overline {-z}=-{\bar {z}$
• ${\displaystyle z\neq 0\Longrightarrow {\overline {z^{-1}=({\bar {z})^{-1}$

${\displaystyle z=(x,y)=x+yi\in {\displaystyle \mathbb {C} }$ zenbaki konplexu baten modulua edo balio absolutua ${\displaystyle |z|}$ adierazten dena, ${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}$ da.

Moduluaren propietateak:

• ${\displaystyle |z|=0\iff z=0\,}$
• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}=|z|^{2}$, beraz, ${\displaystyle z\neq 0\Longrightarrow z^{-1}={\bar {z}/|z|^{2}$
• ${\displaystyle |z|=|-z|=|{\bar {z}|}$
• ${\displaystyle |Rez|\leq |z|}$, ${\displaystyle |Imz|\leq |z|}$, ${\displaystyle |z|\leq |Rez|+|Imz|}$
• ${\displaystyle |z\cdot w|=|z|\cdot |w|\,}$
• ${\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|\,}$
• ${\displaystyle ||z|-|w||\leq |z-w|}$
  

Distantzia d(z, w) = |z − w| gisa definituz, zenbaki konplexuen multzoa espazio metriko bilakatzen da, eta limite eta jarraitasuna azter daiteke.

Plano konplexuaren kontzeptuak zenbaki konplexuak geometrikoki interpretatzeko aukera ematen du. Zenbaki konplexuen batuketa bektoreen batuketarekin erlaziona daiteke, eta zenbaki konplexuen biderketa, besterik gabe, koordenatu polarrak erabiliz adieraz daiteke, non produktuaren magnitudea terminoen magnitudeen emaitza den, eta ardatz errealetik zenbatutako angelua da terminoen angeluen batura, zeina ikus daitekeen aldi berean biratzen duen eta tamaina aldatzen duen bektorearen transformazio gisa.

Edozein konplexu ${\displaystyle i}$-z biderkatzea ${\displaystyle 90}$°-ren errotazio bati dagokio, erlojuaren orratzen kontrako norabidean. Era berean, ${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$ balioa, geometrikoki, ${\displaystyle 90}$°-ren bi errotazioren konbinazio gisa uler daiteke, ${\displaystyle 180}$° (${\displaystyle i^{2}=-1}$)-ren errotazio bat lortuz, zeinu-aldaketa bat eraginez itzuli bat osatzean.

Argand-en diagramak maiz erabiltzen dira plano konplexuan funtzio baten poloen eta zeroen posizioak erakusteko.

Analisi konplexua, funtzio konplexuen teoria, matematikaren arlo aberatsenetako bat da, eta matematikaren beste arlo askotan erabiltzen da, baita fisikan, elektronikan eta beste arlo askotan ere.

Zenbaki konplexuen multzoak gorputz bat definitzen duen axiomatikaren legeak betetzen ditu:

• Propietate trukakorra: ${\displaystyle z+w=w+z;z\cdot w=w\cdot z}$
• Propietate elkarkorra: ${\displaystyle v+(w+z)=(v+w)+z;v(w\cdot z)=(v\cdot w)z}$
• Propietate banakorra: ${\displaystyle v(w+z)=v\cdot w+v\cdot z;(w+z)v=w\cdot v+z\cdot v}$
• Identitateen existentzia: Batuketa-identitatea, zeroa: ${\displaystyle z+0=0+z=z}$; biderketa-identitatea, 1a: ${\displaystyle z\cdot 1=1\cdot z=z}$
• Alderantzikaketa: Zenbaki konplexu bakoitzak bere alderantzizko gehigarria du ${\displaystyle -z}$, hau da, ${\displaystyle z+(-z)=0}$, eta zero ez den zenbaki konplexu bakoitzak bere alderantzizko biderketa du ${\displaystyle z^{-1}$, hau da, ${\displaystyle z\cdot z^{-1}=1}$.^[10]

${\displaystyle a}$ zenbaki erreala ${\displaystyle (a,0)}$ konplexuarekin identifikatzen badugu, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealen multzoa ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ren azpigorputz gisa agertzen da. Are gehiago, ${\displaystyle \mathbb {C} }$-k 2 dimentsioko bektore espazioa osatzen du errealen gainean. Konplexuak ezin dira ordenatu, esaterako, zenbaki errealak; beraz, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ezin da inola ere multzo ordenatu bihurtu.

${\displaystyle \mathbb {C} }$ multzoa, zenbaki konplexuak gehituz eta zenbaki errealak eskalartzat hartuz, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bektore-espazio gisa defini daiteke. Hau da:

1. ${\displaystyle z,w}$ zenbaki konplexuak badira, orduan, ${\displaystyle z+w}$ zenbaki konplexua da. Barne-eragiketa horrek batuketa-taldearen egitura bat definitzen du.
2. ${\displaystyle r}$ zenbaki erreala bada eta ${\displaystyle z}$ zenbaki konplexua, orduan ${\displaystyle r\cdot z}$ ere, ${\displaystyle z}$-ren multiplo eskalar deitua, zenbaki konplexua da. Bi eragiketek bektore-espazio edo lineal baten axiomatikoa asetzen dute^[11].

${\displaystyle p}$ polinomioaren erroa edo zeroa^[12] ${\displaystyle p(z)=0}$ moduko ${\displaystyle z}$ konplexua da. Definizio horren emaitza garrantzitsua da ${\displaystyle n}$ mailako ekuazio polinomiko (aljebraiko) guztiek ${\displaystyle n}$ emaitza zehatza dutela zenbaki konplexuen multzoan; hau da, ${\displaystyle p(z)=0}$ berdintasuna betetzen duten ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ konplexuak ditu, dagozkien multiplizitateekin zenbatuta. Honi aljebraren oinarrizko teorema deritzo, eta konplexuak aljebraikoki itxitako multzo direla frogatzen du; horregatik, matematikariek zenbaki konplexuak zenbaki errealak baino naturalagotzat jotzen dituzte ekuazioak ebazterakoan.

Hau ere betetzen da: ${\displaystyle z}$ koefiziente errealak dituen ${\displaystyle p}$ polinomio baten erroa bada, orduan, ${\displaystyle z}$-ren konplexu konjugatua ere ${\displaystyle p}$-ren erroa da.

Aldagai konplexuko funtzioen azterketari analisi konplexu deritzo. Erabilera ugari ditu matematika aplikatuen tresna gisa, baita matematikaren beste adar batzuetan ere. Analisi konplexuak teoremak frogatzeko tresna garrantzitsu batzuk ematen ditu, baita zenbakien teorian ere; aldagai errealeko funtzio errealek, berriz, plano kartesiarra behar dute adieraziak izateko; aldagai konplexuko funtzioek lau dimentsioko espazioa behar dute, eta, horregatik, oso zaila da haiek adieraztea. Hiru dimentsioko espazio batean koloreztatutako ilustrazioak erabili ohi dira laugarren koordenatua iradokitzeko, edo 3Dko animazioak laurak irudikatzeko.

Ekuazio diferentzialetan, koefiziente konstanteak dituzten ekuazio diferentzial linealen emaitzak aztertzen direnean, ohikoa da polinomio karakteristikoaren ${\displaystyle \lambda \,}$ erroak (oro har, konplexuak) aurkitzea lehenengo, Horri esker, sistemaren emaitza orokorra honela adieraz daiteke oinarrizko funtzioetan: ${\displaystyle f(x)=e^{\lambda x}\,}$.

Objektu fraktal asko, Mandelbrot multzoa kasu, zenbaki konplexuen segida baten konbergentzia-propietateetatik lor daitezke. Konbergentzia-eremuaren azterketak erakusten du multzo horiek berez antzekoa den konplexutasun handia izan dezaketela.

Zenbaki konplexuak ingeniaritza elektronikoan eta beste eremu batzuetan erabiltzen dira seinale periodiko aldakorrak behar bezala deskribatzeko (ikus, Fourier-en analisia). ${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$ motako adierazpen batean, ${\displaystyle r\,}$ anplitudea dela pentsa dezakegu, eta ${\displaystyle \phi \,}$ maiztasun jakin bateko uhin sinusoidal baten fasea. Erresistentziak, kapazitateak eta induktoreak zuzentzen dituzten formula guztien tratamendua bateratu egin daiteke azken bietarako irudizko erresistentziak sartuz korronte bat edo korronte alternoko tentsio bat (eta, beraz, portaera sinusoidala duena) ${\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}\,}$ formako aldagai konplexuko funtzio baten parte erreal gisa irudikatzen dugunean, non ${\displaystyle w}$-k maiztasun angeluarra adierazten duen eta ${\displaystyle z}$ zenbaki konplexuak fasea eta anplitudea ematen (ikus, sare elektriko). Ingeniari elektrikoek eta fisikoek ${\displaystyle j}$ letra erabiltzen dute irudizko unitaterako, eta ez ${\displaystyle i}$ letra, korrontearen intentsitaterako erabili ohi dena.

Eremu konplexua ere garrantzitsua da mekanika kuantikoan, zeinaren azpiko matematikak ℂ-ren gaineko dimentsio infinituko Hilberten espazioak erabiltzen dituen^{[erreferentzia behar]}.

Erlatibitate berezian eta erlatibitate orokorrean, espazio-denboraren metrikarako formula batzuk askoz sinpleagoak dira denbora irudizko aldagai gisa hartzen badugu^{[erreferentzia behar]}.

• Conway, John B.. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer ISBN 0-387-90328-3..
• I. M. Yaglom: Números complejos y sus aplicaciones a la geometría'. Editorial URSS Moscú (2009) ISBN 978-5-396-00077-3