معادله پائولی
| مکانیک کوانتوم |
|---|
|
آشنایی واژه‌نامه · تاریخچه |
معادله پائولی، که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده‌است، فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد. این معادله در حقیقت حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند، کاربرد دارد. این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.
جزئیات
برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری
و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}({\boldsymbol {\sigma }\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b97be7f078f83329986564d12a5100cbe0e0c45)
که در آن
یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛
بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و
اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}\left(\sum _{n=1}^{3}\left(\sigma _{n}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}-qA_{n}\right)\right)\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\displaystyle \partial \psi _{0}{\displaystyle \partial t}\\[6pt]{\frac {\displaystyle \partial \psi _{1}{\displaystyle \partial t}\end{pmatrix}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbdf5650273e755164a4f6590051d7c37545e21)
که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .
رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک
معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:
- معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
- معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.
توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.
حالات خاص
در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:
که در آن
- ,
مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و
ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.
جستارهای وابسته
منابع
- Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik I. Springer. ISBN 978-3540431060.
- Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Springer. ISBN 978-3540259046.
- Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.
{cite book}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)