Լապլասի օպերատոր

Այս հոդվածն աղբյուրների կարիք ունի։ Դուք կարող եք բարելավել հոդվածը՝ գտնելով բերված տեղեկությունների հաստատումը վստահելի աղբյուրներում և ավելացնելով դրանց հղումները հոդվածին։ Անհիմն հղումները ենթակա են հեռացման։

Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է${\displaystyle \ \Delta }$ տառով։

n-չափանի տարածությունում ${\displaystyle F\ }$ ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}+\ldots +{\partial ^{2} \over \partial x_{n}^{2}\right)F}$:

Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$:

Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$:

Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում

Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ ${\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}$ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝

${\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}\left({\frac {H_{2}H_{3}{H_{1}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}\left({\frac {H_{1}H_{3}{H_{2}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}\left({\frac {H_{1}H_{2}{H_{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}\right)\right],}$

որտեղ ${\displaystyle H_{i}\ }$-ն Լամեի գործակիցն է։

Գլանային կոորդինատներ

Գլանային կոորդինատներով`

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}+{1 \over r^{2}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}$

Սֆերիկ կոորդինատներ

Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}$

կամ

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}.}$

Այն դեպքում, երբ${\displaystyle \ f=f(r)}$ n-չափանի տարածության մեջ է՝

${\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}$

Պարաբոլական կոորդինատներ

Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}\left[{\frac {1}{\sigma }{\frac {\partial }{\partial \sigma }\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }\right)+{\frac {1}{\tau }{\frac {\partial }{\partial \tau }\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}$

Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ

Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

${\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}.}$

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն

Դիցուք հարթ բազմաձև ${\displaystyle X}$-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և ${\displaystyle g_{ij}$-ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է ${\displaystyle X}$-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ .

${\displaystyle g^{ij}$-ով նշանակենք ${\displaystyle (g_{ij})^{-1}$ մատրիցի էլեմենտները՝

${\displaystyle g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}$.

${\displaystyle F^{i}$ տրված կոորդինատներով որոշվող ${\displaystyle F}$ վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է ${\displaystyle \sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}$ -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}({\sqrt {g}F^{i})}$,

իսկ f ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝

${\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}.}$

Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը ${\displaystyle X}$-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}{\Big (}{\sqrt {g}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}{\Big )}.}$

${\displaystyle \Delta f}$-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

Կիրառություն

Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

Վարիացիա և ընդհանրացում

• Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
• Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

Տես նաև

Արտաքին հղումներ

• MathWorld description of Laplacian

Բառարաններ և հանրագիտարաններ Բրիտանիկա · Մեծ կատալոնական · Մեծ նորվեգական Չափորոշչային վերահսկողություն GND: 4166772-4 · LCCN: sh85074667 · Microsoft: 165700671 · NDL: 01181008