In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}{k^{s}=z+{\frac {z^{2}{2^{s}+{\frac {z^{3}{3^{s}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7da986742ae892a4bbb43770af3175d668b129)
se per ogni
tale che
. Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto
tramite il prolungamento analitico.
Per
il polilogaritmo coincide col classico logaritmo
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}{k}=-\ln(1-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c0907fa4e026586a3dec2121860a12c13a62c5)
Per
il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per
trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.
Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}\,\mathrm {d} t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afa093b529524eefadac855787c190fc746bee2)
quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.
Proprietà
Una formula importante dovuta a Eulero è
![{\displaystyle {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}{6}-\ln(z)\ln(1-z)=\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb6ce2739371321b7600c51c22fd17ce2a7f76e)
Per
essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di
:
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}\right)={\frac {\pi ^{2}{12}-{\frac {\ln ^{2}(2)}{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fb5c16aff67a48b82014673290b23a2bfb428e)
L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).
Se
, per
la funzione polilogaritmo di ordine
si riduce alla funzione zeta di Riemann in
:
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k^{s}=\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8bf5a3fdfbc20fee2169d12ea1c721a659633)
Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (s)}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}{\displaystyle {\frac {e^{t}{z}-1}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312d097e49db84944df865e6502071e127d8ed6b)
dove
è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per
e per ogni
eccetto gli
minori di
. Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo
![{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {x^{n}{e^{x}-1}\,dx=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4bcac16112a3764671b20598bf0600fecd625b)
Casi particolari
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48510af4a60aabf4cf96e3efe5decfa77d51acf5)
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb0fd3fec95caf1b1de48376543bb91865fcd4d)
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3202e3ecc4d589eff7b77e6e8c623a58e0d289)
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5136ba8ba11279a833b36c381b24b96507a64512)
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518e953c37eeeb25c5545a1d35c9774f6b419065)
![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f7f395df0cff28c0b7247563552216fc7b75a4)
Galleria d'immagini
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2c8f81edbd3d964b70f31bb7cd4a5bbd1f484)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52567ae73fa9936a989da4e5d7552d4832f4052)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50970938b57f45a5e0b54272672ea2ece8194633)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6b55b666e4fee94ae62d8a97aeaf2d63d299c4)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ae210a53920b9ce11529d7e88a39e18ad0a815)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fc479bb3abce79e8a0ed0566ba71e182687907)
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![{\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f69d9e17e7b451c104eaac28f43a263ee7ac03)
Bibliografia
- Jonquière, A. Note sur la série
. Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
- Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
- Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
- Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30–31, 1981.
- Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni