原始関数の一覧

本項は、原始関数の一覧（げんしかんすうのいちらん）である。以下、積分定数は${\displaystyle C}$とする。

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}\,dx={\frac {1}{a}\ln \left|ax+b\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{ax+b}\,dx={\frac {x}{a}-{\frac {b}{a^{2}\ln \left|ax+b\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}{ax+b}\,dx={\frac {1}{2a^{3}(a^{2}x^{2}-2abx+2b^{2}\ln \left|ax+b\right|)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x(ax+b)}\,dx=-{\frac {1}{b}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}(ax+b)}\,dx={\frac {a}{b^{2}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}\right|-{\frac {1}{bx}+C}$

${\displaystyle \int x{\sqrt {a+bx}\,dx={\frac {2}{15b^{2}(3bx-2a)(a+bx)^{\frac {3}{2}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a+bx}\,dx={\frac {2}{105b^{3}(15b^{2}x^{2}-12abx+8a^{2})(a+bx)^{\frac {3}{2}+C}$

${\displaystyle \int x^{n}{\sqrt {a+bx}\,dx={\frac {2}{b(2n+3)}x^{n}(a+bx)^{\frac {3}{2}-{\frac {2na}{b(2n+3)}\int x^{n-1}{\sqrt {a+bx}dx}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a+bx}{x}\,dx=2{\sqrt {a+bx}+a\int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}dx}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a+bx}{x^{n}\,dx={\frac {-1}{a(n-1)}{\frac {(a+bx)^{\frac {3}{2}{x^{n-1}-{\frac {(2n-5)b}{2a(n-1)}\int {\frac {\sqrt {a+bx}{x^{n-1}dx,n\neq 1}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a+bx}\,dx={\frac {1}{\sqrt {a}\ln \left({\frac {\sqrt {a+bx}-{\sqrt {a}{\sqrt {a+bx}+{\sqrt {a}\right)+C,a>0}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {-a}\arctan {\sqrt {\frac {a+bx}{-a}+C,a<0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{n}{\sqrt {a+bx}\,dx={\frac {-1}{a(n-1)}{\frac {\sqrt {a+bx}{x^{n-1}-{\frac {(2n-3)b}{2a(n-1)}\int {\frac {1}{x^{n-1}{\sqrt {a+bx}dx,n\neq 1}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+\alpha ^{2}\,dx={\frac {1}{\alpha }\arctan {\frac {x}{\alpha }+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\pm x^{2}\mp \alpha ^{2}\,dx={\frac {1}{2\alpha }\ln \left({\dfrac {x\mp \alpha }{\pm x+\alpha }\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax^{2}+b}\,dx={\frac {1}{\sqrt {ab}\arctan {\sqrt {\frac {a}{b}x+C}$

${\displaystyle \int (ax^{2}+bx+c)\,dx={\frac {ax^{3}{3}+{\frac {bx^{2}{2}+cx+C}$

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx={\frac {1}{2}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}+{\frac {1}{2}a^{2}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx={\frac {1}{8}x(a^{2}+2x^{2}){\sqrt {a^{2}+x^{2}-{\frac {1}{8}a^{4}\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}{x}\,dx={\sqrt {a^{2}+x^{2}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}{x}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}{x^{2}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right)-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}{x}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx={\frac {1}{2}x{\sqrt {a^{2}+x^{2}-{\frac {1}{2}a^{2}\ln \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}+x\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx={\frac {1}{a}\ln \left({\frac {x}{a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}{a^{2}x}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}\,dx=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}+C=-\arccos {\frac {x}{a}+C}$

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx={\frac {1}{2}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}+{\frac {a^{2}{2}\arcsin {\frac {x}{a}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx={\frac {1}{8}x(2x^{2}-a^{2}){\sqrt {a^{2}-x^{2}+{\frac {1}{8}a^{4}\arcsin {\frac {x}{a}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}{x}\,dx={\sqrt {a^{2}-x^{2}-a\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}{x}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}{x^{2}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}{x}-\arcsin {\frac {x}{a}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx=-{\frac {1}{a}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}{x}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx=-{\frac {1}{2}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}+{\frac {1}{2}a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}\,dx=-{\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}{a^{2}x}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R}={\frac {1}{\sqrt {a}\ln \left(2{\sqrt {a}R+2ax+b\right)\qquad ({\mbox{for }a>0)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R}={\frac {1}{\sqrt {a}\,\operatorname {arsinh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}\qquad {\mbox{(for }a>0{\mbox{, }4ac-b^{2}>0{\mbox{)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R}={\frac {1}{\sqrt {a}\ln |2ax+b|\quad {\mbox{(for }a>0{\mbox{, }4ac-b^{2}=0{\mbox{)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R}=-{\frac {1}{\sqrt {-a}\arcsin {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}\qquad {\mbox{(for }a<0{\mbox{, }4ac-b^{2}<0{\mbox{, }\left(2ax+b\right)<{\sqrt {b^{2}-4ac}{\mbox{)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R^{3}={\frac {4ax+2b}{(4ac-b^{2})R}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R^{5}={\frac {4ax+2b}{3(4ac-b^{2})R}\left({\frac {1}{R^{2}+{\frac {8a}{4ac-b^{2}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{R^{2n+1}={\frac {2}{(2n-1)(4ac-b^{2})}\left({\frac {2ax+b}{R^{2n-1}+4a(n-1)\int {\frac {dx}{R^{2n-1}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{R}\;dx={\frac {R}{a}-{\frac {b}{2a}\int {\frac {dx}{R}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{R^{3}\;dx=-{\frac {2bx+4c}{(4ac-b^{2})R}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{R^{2n+1}\;dx=-{\frac {1}{(2n-1)aR^{2n-1}-{\frac {b}{2a}\int {\frac {dx}{R^{2n+1}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{xR}=-{\frac {1}{\sqrt {c}\ln \left({\frac {2{\sqrt {c}R+bx+2c}{x}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{xR}=-{\frac {1}{\sqrt {c}\operatorname {arsinh} \left({\frac {bx+2c}{|x|{\sqrt {4ac-b^{2}\right)}$

${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C}$

${\displaystyle \int -\sin x\,dx=\cos x+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int -\csc ^{2}x\,dx=\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C}$

${\displaystyle \int -\csc x\cot x\,dx=\csc x+C}$

${\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)+C}$

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln(\sec x+\tan x)+C=\operatorname {gd} ^{-1}x+C\quad \operatorname {gd} ^{-1}x}$：グーデルマン関数の逆関数

${\displaystyle \int \csc x\,dx=-\ln(\csc x+\cot x)+C=\ln \left({\tan x-\sin x \over \sin x\tan x}\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {1}{n}\sin ^{n-1}x\cos x+{\frac {n-1}{n}\int \sin ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {x}{2}-{\frac {\sin {2x}{4}+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {1}{n}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}\int \cos ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {x}{2}+{\frac {\sin {2x}{4}+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}\tan ^{n-1}x-\int \tan ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}\cot ^{n-1}x-\int \cot ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={\frac {1}{n-1}\sec ^{n-2}x\tan x+{\frac {n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \csc ^{n}x\,dx=-{\frac {1}{n-1}\csc ^{n-2}x\cot x+{\frac {n-2}{n-1}\int \csc ^{n-2}x\,dx+C\quad \forall n\geq 2}$

${\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}+C}$

${\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}+C}$

${\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-\ln {\sqrt {1+x^{2}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+\ln {\sqrt {1+x^{2}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln(x-{\sqrt {x^{2}-1})+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1})+C}$

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int \alpha ^{x}\,dx={\frac {\alpha ^{x}{\ln \alpha }+C}$

${\displaystyle \int xe^{ax}\,dx={\frac {1}{a^{2}(ax-1)e^{ax}+C}$

${\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}x^{n}e^{ax}-{\frac {n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx}$

${\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\,dx={\frac {e^{ax}{a^{2}+b^{2}(a\sin bx-b\cos bx)+C}$

${\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\,dx={\frac {e^{ax}{a^{2}+b^{2}(a\cos bx+b\sin bx)+C}$

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{\alpha }x\,dx={\frac {1}{\ln \alpha }\left({x\ln x-x}\right)+C}$

${\displaystyle \int x^{n}\ln x\,dx={\frac {x^{n+1}{(n+1)^{2}[(n+1)\ln x-1]+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\ln {x}\,dx=\ln {(\ln {x})}+C}$

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \left(\cosh x\right)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln \left(\sinh x\right)+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}\ x\,dx=\arcsin \left(\tanh x\right)+C=\arctan \left(\sinh x\right)+C=\operatorname {gd} x+C\quad \operatorname {gd} x}$：グーデルマン関数

${\displaystyle \int {\mbox{csch}\ x\,dx=\ln \left(\tanh {x \over 2}\right)+C}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}{\mbox{sin}^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}{\mbox{cos}^{n}x\,dx={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}\cdot {\frac {n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot {\frac {4}{5}\cdot {\frac {2}{3},&{\mbox{if }n>1{\mbox{ and }n{\mbox{ is odd}\\{\frac {n-1}{n}\cdot {\frac {n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot {\frac {3}{4}\cdot {\frac {1}{2}\cdot {\frac {\pi }{2},&{\mbox{if }n>0{\mbox{ and }n{\mbox{ is even}\end{cases}$

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