閉微分形式

微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式（へいびぶんけいしき、英: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。

シュヴァルツの定理により、 $C 1$ -級（フランス語版）函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。

一次微分形式の場合

詳細は「1-形式」を参照

$n$ -次元の 1-形式 ${\textstyle \omega (u)=a_{1}(u){\mathit {dx}_{1}+\dotsb +a_{n}(u){\mathit {dx}_{n}$ が閉であるとは、 ${\frac {\partial a_{i}{\partial x_{j}-{\frac {\partial a_{j}{\partial x_{i}=0\quad (\forall i<j\leq n)$ が成り立つことである。これは全部で $n (n - 1)/2$ この条件を満足することを言っている。

一次元の場合、可微分 1-形式 $ω ≔ A (x) dx$ は常に閉である。
二次元の場合、1-形式 $ω ≔ A (x, y) dx + B (x, y) dy$ が閉となるのは、 ${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}{\Big )}_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}{\Big )}_{y$ を満たすときである。
三次元の場合、1-形式 $ω ≔ A (x, y, z) dx + B (x, y, z) dy + C (x, y, z) dz$ が閉となるのは、 ${\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}{\Big )}_{x,z$ となるときである。これは $Ω ≔ t (A, B, C)$ に対して $rot Ω = 0$ となることに対応する。

注

[脚注の使い方]

注釈

出典

参考文献

（フランス語） Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles ^{[要文献特定詳細情報]}
（フランス語） Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]

外部リンク

Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Closed Form". mathworld.wolfram.com (英語).
closed (differential form) - PlanetMath.（英語）
closed differential forms on a simply connected domain - PlanetMath.（英語）
closed form in nLab

閉微分形式

一次微分形式の場合

注

注釈

出典

参考文献

関連項目

外部リンク