체론 에서 단순 확대 (單純擴大, 영어 : simple extension )는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대 이다.
체의 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
α
∈
L
{\displaystyle \alpha \in L}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
단순 확대 라고 하고,
α
{\displaystyle \alpha }
원시 원소 (原始元素, 영어 : primitive element )라고 한다.
만약
α
{\displaystyle \alpha }
K
{\displaystyle K}
초월 원소 라면,
K
(
α
)
≅
K
(
x
)
{\displaystyle K(\alpha )\cong K(x)}
K
{\displaystyle K}
유리 함수체 와 동형 이다. 만약
α
{\displaystyle \alpha }
K
{\displaystyle K}
대수적 원소 라면,
K
{\displaystyle K}
다항식환 의 어떤 몫환
K
(
α
)
≅
K
[
x
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))}
[
K
(
α
)
:
K
]
=
deg
p
{\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p}
과 동형 이다. 여기서
p
{\displaystyle p}
α
{\displaystyle \alpha }
K
{\displaystyle K}
최소 다항식 이다. 이는 기약 다항식 이므로,
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle (p(x))}
극대 아이디얼 이며,
K
[
x
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle K[x]/(p(x))}
체 를 이룬다.
유한 확대 의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리 (原始元素定理, 영어 : primitive element theorem )에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
동치 이다.
L
/
K
{\displaystyle L/K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
M
{\displaystyle M}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
{\displaystyle K}
유한체 라면,
L
{\displaystyle L}
L
∖
{
0
}
{\displaystyle L\setminus \{0\}
순환군 이다.
L
∖
{
0
}
=
{
1
,
α
,
α
2
,
…
}
{\displaystyle L\setminus \{0\}=\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots \}
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
K
{\displaystyle K}
α
,
β
∈
L
{\displaystyle \alpha ,\beta \in L}
K
(
α
+
c
β
)
=
K
(
α
+
c
′
β
)
{\displaystyle K(\alpha +c\beta )=K(\alpha +c'\beta )}
c
≠
c
′
{\displaystyle c\neq c'}
인
c
,
c
′
∈
K
{\displaystyle c,c'\in K}
β
=
(
(
α
+
c
β
)
−
(
α
+
c
′
β
)
)
/
(
c
−
c
′
)
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \beta =((\alpha +c\beta )-(\alpha +c'\beta ))/(c-c')\in K(\alpha +c\beta )}
α
=
(
α
+
c
β
)
−
c
β
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )}
이므로,
K
(
α
,
β
)
=
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )}
수학적 귀납법 에 따라,
L
=
K
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle L=K(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
L
=
K
(
α
1
+
c
2
α
2
+
⋯
+
c
n
α
n
)
{\displaystyle L=K(\alpha _{1}+c_{2}\alpha _{2}+\cdots +c_{n}\alpha _{n})}
인
c
2
,
…
,
c
n
∈
K
{\displaystyle c_{2},\dots ,c_{n}\in K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
반대로,
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
K
{\displaystyle K}
L
/
K
{\displaystyle L/K}
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
p
M
∈
M
[
x
]
{\displaystyle p_{M}\in M[x]}
α
{\displaystyle \alpha }
M
{\displaystyle M}
최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면,
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
p
K
(
x
)
{\displaystyle p_{K}(x)}
약수 이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서
M
↦
p
M
{\displaystyle M\mapsto p_{M}
단사 함수 임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
S
p
{\displaystyle S_{p}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
p
∈
K
(
S
p
)
[
x
]
{\displaystyle p\in K(S_{p})[x]}
K
⊆
M
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
M
{\displaystyle M}
기약 다항식 이며,
K
(
S
)
⊆
M
{\displaystyle K(S)\subseteq M}
p
M
(
x
)
{\displaystyle p_{M}(x)}
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle K(S_{p_{M})}
p
M
{\displaystyle p_{M}
α
{\displaystyle \alpha }
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle K(S_{p_{M})}
최소 다항식 이기도 하다. 따라서,
[
L
:
K
(
S
p
M
)
]
=
[
K
(
S
p
M
)
(
α
)
:
K
(
S
p
M
)
]
=
deg
p
M
=
[
M
(
α
)
:
M
]
=
[
L
:
M
]
{\displaystyle [L:K(S_{p_{M})]=[K(S_{p_{M})(\alpha ):K(S_{p_{M})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]}
[
K
(
S
p
M
)
:
K
]
=
[
L
:
K
]
/
[
L
:
K
(
S
p
M
)
]
=
[
L
:
K
]
/
[
L
:
M
]
=
[
M
:
K
]
{\displaystyle [K(S_{p_{M}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]}
이다.
M
/
K
{\displaystyle M/K}
유한 확대 이며,
K
(
S
p
M
)
⊆
M
{\displaystyle K(S_{p_{M})\subseteq M}
M
=
K
(
S
p
M
)
{\displaystyle M=K(S_{p_{M})}
K
⊆
M
,
M
′
⊆
L
{\displaystyle K\subseteq M,M'\subseteq L}
p
M
=
p
M
′
{\displaystyle p_{M}=p_{M'}
M
=
K
(
S
p
M
)
=
K
(
S
p
M
′
)
=
M
′
{\displaystyle M=K(S_{p_{M})=K(S_{p_{M'})=M'}
M
↦
p
M
{\displaystyle M\mapsto p_{M}
또한, 만약
L
/
K
{\displaystyle L/K}
분해 가능 확대 라면, 그 사이에 존재하는 체들의 수는 유한하며,
L
/
K
{\displaystyle L/K}
만약
K
{\displaystyle K}
유한체 라면,
L
{\displaystyle L}
L
∖
{
0
}
{\displaystyle L\setminus \{0\}
순환군 이다.
L
∖
{
0
}
=
{
1
,
α
,
α
2
,
…
}
{\displaystyle L\setminus \{0\}=\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots \}
L
=
K
(
α
)
{\displaystyle L=K(\alpha )}
K
{\displaystyle K}
무한 집합 이라고 가정하자. 수학적 귀납법 에 따라,
L
=
K
(
α
,
β
)
{\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )}
p
,
q
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p,q\in K[x]}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
K
{\displaystyle K}
최소 다항식 이라고 하고,
{
α
1
=
α
,
α
2
,
…
,
α
m
}
{\displaystyle \{\alpha _{1}=\alpha ,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}\}
{
β
1
=
β
,
β
2
,
…
,
β
n
}
{\displaystyle \{\beta _{1}=\beta ,\beta _{2},\dots ,\beta _{n}\}
대수적 폐포
K
¯
/
L
/
K
{\displaystyle {\bar {K}/L/K}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
분해 가능 다항식 이므로,
p
(
x
)
=
(
x
−
α
1
)
⋯
(
x
−
α
m
)
{\displaystyle p(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{m})}
q
(
x
)
=
(
x
−
β
1
)
⋯
(
x
−
β
n
)
{\displaystyle q(x)=(x-\beta _{1})\cdots (x-\beta _{n})}
이다.
K
{\displaystyle K}
무한 집합 이므로,
α
1
+
c
β
1
≠
α
i
+
c
β
j
(
i
=
1
,
…
,
m
,
j
=
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle \alpha _{1}+c\beta _{1}\neq \alpha _{i}+c\beta _{j}\qquad (i=1,\dots ,m,j=2,\dots ,n)}
인
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
p
(
α
+
c
β
−
c
x
)
=
(
α
1
+
c
β
1
−
α
1
−
c
x
)
(
α
1
+
c
β
1
−
α
2
−
c
x
)
⋯
(
α
1
+
c
β
1
−
α
m
−
c
x
)
∈
K
(
α
+
c
β
)
[
x
]
{\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx)=(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{1}-cx)(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{2}-cx)\cdots (\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{m}-cx)\in K(\alpha +c\beta )[x]}
을 생각하자.
c
{\displaystyle c}
p
(
α
+
c
β
−
c
β
1
)
=
0
{\displaystyle p(\alpha +c\beta -c\beta _{1})=0}
j
=
2
,
…
,
n
{\displaystyle j=2,\dots ,n}
p
(
α
+
c
β
−
c
β
j
)
≠
0
{\displaystyle p(\alpha +c\beta -c\beta _{j})\neq 0}
p
(
α
+
c
β
−
c
x
)
{\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx)}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
β
1
{\displaystyle \beta _{1}
β
{\displaystyle \beta }
최대 공약수 는
x
−
β
{\displaystyle x-\beta }
p
(
α
+
c
β
−
c
x
)
,
q
(
x
)
∈
K
(
α
+
c
β
)
[
x
]
{\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx),q(x)\in K(\alpha +c\beta )[x]}
x
−
β
∈
K
(
α
+
c
β
)
[
x
]
{\displaystyle x-\beta \in K(\alpha +c\beta )[x]}
β
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \beta \in K(\alpha +c\beta )}
α
=
(
α
+
c
β
)
−
c
β
∈
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha +c\beta )-c\beta \in K(\alpha +c\beta )}
L
=
K
(
α
,
β
)
=
K
(
α
+
c
β
)
{\displaystyle L=K(\alpha ,\beta )=K(\alpha +c\beta )}
이다.
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}
이차 수체
Q
(
d
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d})/\mathbb {Q} }
d
{\displaystyle {\sqrt {d}
Q
(
2
,
3
)
/
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2},{\sqrt {3})/\mathbb {Q} }
유한 확대 이며, 또한 표수 가 0이므로 분해 가능 확대 이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.
구체적으로,
α
=
2
+
3
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}+{\sqrt {3}
{
1
,
α
,
α
2
,
α
3
}
{\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
선형 독립 이며, 이를
{
1
,
2
,
3
,
6
}
{\displaystyle \{1,{\sqrt {2},{\sqrt {3},{\sqrt {6}\}
α
{\displaystyle \alpha }
체
K
{\displaystyle K}
유리 함수체
K
(
x
)
{\displaystyle K(x)}
F
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)}
F
p
(
x
,
y
)
[
X
,
Y
]
/
(
X
p
−
x
,
Y
p
−
y
)
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}
를 생각하자. 이는 차수
p
2
{\displaystyle p^{2}
임의의
a
∈
F
p
(
x
,
y
)
[
X
,
Y
]
/
(
X
p
−
x
,
Y
p
−
y
)
{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}
a
p
∈
F
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)}
p
{\displaystyle p}
![{\displaystyle K(\alpha )\cong K[x]/(p(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3558c45d1582fe2f0057650bda9f0877458d808e)
![{\displaystyle [K(\alpha ):K]=\deg p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41274ebed27000961033905fecf4902a139ad44)
![{\displaystyle K[x]/(p(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df19a920fadf5995ff4b48dae4ba2f8e3333155)
![{\displaystyle p_{M}\in M[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c5e9c16555f27b01f1c9462d950ed8d58d2ad3)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle p\in K(S_{p})[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d697790cc8df02e6819f7fb76f61390117b383c)
![{\displaystyle [L:K(S_{p_{M})]=[K(S_{p_{M})(\alpha ):K(S_{p_{M})]=\deg p_{M}=[M(\alpha ):M]=[L:M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d4e931b52d82994adcd4f98e1c5ff75e96b601)
![{\displaystyle [K(S_{p_{M}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_{M})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870e4a90d0abac56e065d510bb5adbc58c36e15)
![{\displaystyle |{\operatorname {Gal} (M/K)}|=[M:K]<\aleph _{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcff4449ddbefde87ff37b68cb7e0a5d76c7826)
![{\displaystyle p,q\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c4182b10c1560098a6ca1a98ee5cdb47890e9f)
![{\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx)=(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{1}-cx)(\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{2}-cx)\cdots (\alpha _{1}+c\beta _{1}-\alpha _{m}-cx)\in K(\alpha +c\beta )[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03d87cfbd40713cfabda3cb2fe6b69792055374)
![{\displaystyle p(\alpha +c\beta -cx),q(x)\in K(\alpha +c\beta )[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1660008d878aa0d060afcf7c32428d5107e55edc)
![{\displaystyle x-\beta \in K(\alpha +c\beta )[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c699518eb2544594b512b8e77680464594bfd17)
![{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacfaee89fc7d9ac03d69c7c9fb1780f198362bc)
![{\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf919cd6a745b3a30a84f4e8c69871a3726ad3d)
