삼각 치환

미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.^[1]:342

${\displaystyle R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2})}$

여기서 ${\displaystyle R}$는 유리 함수이며 ${\displaystyle a>0}$이다. 이는 ${\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c})}$의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 ${\displaystyle x}$를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.^{[2]:533[3]:51}

적분	치환				항등식
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\sin \theta }$	${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}=a\cos \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\cos \theta }$	${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}=a\sin \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\sin \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\tan \theta }$	${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}=a\sec \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\cot \theta }$	${\displaystyle 0<\theta <\pi }$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}=a\csc \theta }$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\csc ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$
${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2})\mathrm {d} x}$	${\displaystyle x=a\sec \theta }$	${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi \land \theta \neq \pi /2}$	${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}={\begin{cases}a\tan \theta &x>a\land 0\leq \theta <\pi /2\\-a\tan \theta &x<-a\land \pi /2<\theta \leq \pi \end{cases}$	${\displaystyle \mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta }$
	${\displaystyle x=a\csc \theta }$	${\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\land \theta \neq 0}$	${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}={\begin{cases}a\cot \theta &x>a\land 0<\theta \leq \pi /2\\-a\cot \theta &x<-a\land -\pi /2\leq \theta <0\end{cases}$	${\displaystyle \mathrm {d} x=-a\csc \theta \cot \theta \mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \csc ^{2}\theta -1=\cot ^{2}\theta }$

새 변수 ${\displaystyle \theta }$의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.^[2]:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.^{[1]:342[4]:482}

다음과 같은 적분을 구하자.^{[3]:49, Example 1[5]:249, 例6.2.8}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

${\displaystyle x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\cos \theta \mathrm {d} \theta }{a\cos \theta }$	(치환)
	${\displaystyle =\int \mathrm {d} \theta }$	(단순화)
	${\displaystyle =\theta +C}$	(적분)
	${\displaystyle =\arcsin {\frac {x}{a}+C}$	(재치환)

이 적분은 ${\displaystyle x/a=t}$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:252, 例6.2.14}

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int a^{2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {a^{2}{2}(1+\cos 2\theta )\mathrm {d} \theta }$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}{2}\theta +{\frac {a^{2}{4}\sin 2\theta +C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}{2}\theta +{\frac {a^{2}{2}\sin \theta \cos \theta +C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}{2}\arcsin {\frac {x}{a}+{\frac {a^{2}{2}\cdot {\frac {x}{a}\cdot {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}{a}+C}$	(재치환)
	${\displaystyle ={\frac {a^{2}{2}\arcsin {\frac {x}{a}+{\frac {1}{2}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}+C}$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

다음을 구하자.^{[3]:48, Example 1}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$이다. 다음을 사용하자.

${\displaystyle x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {1}{a}\mathrm {d} \theta }$	(단순화)
	${\displaystyle ={\frac {\theta }{a}+C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {1}{a}\arctan {\frac {x}{a}+C}$	(재치환)

이 적분은 치환 ${\displaystyle x/a=t}$ 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:253, 例6.2.16}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a\sec \theta }$	(치환)
	${\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }$	(단순화)
	${\displaystyle =\int {\frac {\cos \theta \mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }$	(변형)
	${\displaystyle =\int {\frac {\mathrm {d} (\sin \theta )}{1-\sin ^{2}\theta }$	(치환)
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }\right|+C}$	(적분)
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }\right|^{2}+C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle =\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C}$	(삼각 항등식)
	${\displaystyle =\ln \left|{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}{a}+{\frac {x}{a}\right|+C}$	(재치환)
	${\displaystyle =\ln \left|x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}\right|+C}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 ${\displaystyle x=a\sinh t}$을 통해서도 구할 수 있다.

편의상 ${\displaystyle x>0}$이라고 하고 다음을 구하자.^{[3]:50, Example 1}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}$

여기서 ${\displaystyle a>0}$이다. 다음을 사용하자.

${\displaystyle x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}$

그러면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec \theta |\tan \theta |}$	(치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}&x<-a\end{cases}$	(단순화)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\theta }{a}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {\theta }{a}+C'&x<-a\end{cases}$	(적분)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{a}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {1}{a}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}+C'&x<-a\end{cases}$	(재치환)

이 적분은 치환 ${\displaystyle x/a=t}$ 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{[5]:253, 例6.2.15}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}$	${\displaystyle =\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a|\tan \theta |}$	(치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }&x<-a\end{cases}$	(단순화)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln |\sec \theta +\tan \theta |+C&x>a\\\displaystyle -\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C'&x<-a\end{cases}$	(적분)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln \left|{\frac {x}{a}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}{a}\right|+C&x>a\\\displaystyle -\ln \left|{\frac {x}{a}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}{a}\right|+C'&x<-a\end{cases}$	(재치환)
	${\displaystyle ={\begin{cases}\displaystyle \ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}|+C&x>a\\\displaystyle -\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}|+C'&x<-a\end{cases}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 ${\displaystyle x=a\cosh t}$를 통해서도 구할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.^{[2]:536, Example 4}

${\displaystyle \int _{\sqrt {3}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}{x}\mathrm {d} x}$

다음을 사용하자.

${\displaystyle x={\sqrt {3}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}={\sqrt {3}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}$

만약 ${\displaystyle x={\sqrt {3}$일 경우 ${\displaystyle \cos \theta =1}$이므로 ${\displaystyle \theta =0}$이며, 만약 ${\displaystyle x=2}$일 경우 ${\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {3}/2}$이므로 ${\displaystyle \theta =\pi /6}$이다. 따라서 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}{x}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {\sqrt {3}\pi }{6}\end{aligned}$

• 바이어슈트라스 치환

• 이철희. “삼각치환”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.