적분판정법

적분판정법(積分判別法, integral test)은 양항급수의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다.

내용

함수 f가 만약 [N, ∞)(N은 정수)에서 단조감소하며 항상 ≥ 0이면, 급수

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

과 이상적분

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다. 달리 말해, 급수가 수렴할 필요충분조건은 이상적분이 유한하다는 것이다.

판정법의 증명은 급수의 상계와 하계를 다음과 같이 제시한다.

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

증명

[N, ∞)안의 임의의 정수 n에 대해, f가 단조감소함에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}$

N부터 정수 M( > N)까지의 모든 정수 n에 대해 합을 구하면

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{M+1}f(n)\leq \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

M에 대해 극한을 취하면 해당 부등식을 얻으며, 그로써 급수와 이상적분이 유한임은 서로 동치이다.

p급수의 예

조화급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}$은 적분판정법과 미적분학의 기본정리에 따라 발산한다.

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}\,dx=\lim _{M\to \infty }\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}\,dx=\lim _{M\to \infty }\left.\ln x\right|_{1}^{M}=\infty }$

급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}$은 수렴한다(${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}{6}$으로).

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}\,dx=\left.-{\frac {1}{x}\right|_{1}^{\infty }=1<\infty }$

p급수 판정법, 즉 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}$가 수렴할 필요충분조건이 p > 1이라는 사실은 적분판정법의 한 가지 따름정리이다.