이차함수
y
=
x
2
−
x
−
2
=
(
x
+
1
)
(
x
−
2
)
{\displaystyle y=x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)}
의 그래프.x축 과 그래프가 만나는 점의 x 좌표 인
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
과
x
=
2
{\displaystyle x=2}
는
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-2=0}
이라는 이차방정식의 해가 된다.
이차방정식 (二次方程式, 영어 : quadratic equation )은 최고차항의 차수 가 2인 다항 방정식 이다. '
x
{\displaystyle x}
에 대한 이차식=0' 꼴로 나타내는 방정식을
x
{\displaystyle x}
에 대한 이차방정식 이라고 한다.
x
{\displaystyle x}
에 관한 이차 방정식의 일반적인 형태는
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0}
와 같고, 여기서
x
{\displaystyle x}
는 변수 ,
a
{\displaystyle a}
와
b
{\displaystyle b}
는 각각
x
2
,
x
{\displaystyle x^{2},x}
의 계수 라고 하며,
c
{\displaystyle c}
는 상수항이라고 부른다. 일반적으로 인수분해 를 이용해 풀이한다. 여기에서
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}
에서 a의 값이 -이면 아래로 내려가고 +이면 위로 올라간다. 그리고 |a|의값이 커질수록 폭은 좁아진다.
복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실수 인 근 실근과 허수 인 근 허근을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근 이라고 한다.
이차 방정식의 근의 공식
다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
, 단,
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
는 실수 이고
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
일 때, 이 방정식의 두 해
x
1
{\displaystyle x_{1}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}
는
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
이다.
이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
x
1
,
2
=
2
c
−
b
±
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }
, 단
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
일 경우에만 성립한다.[1]
여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
를 이 이차방정식의 판별식 이라고 하며, 주로
D
{\displaystyle D}
로 나타낸다.
판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.
만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근 이라고 한다.
만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.
따라서, 제곱근 기호
{\displaystyle {\sqrt {\;\;}
안의 수, 즉
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
는 이 이차방정식의 판별식 이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은
±
{\displaystyle \pm {\sqrt {\;\;}
가 살아있는
2
{\displaystyle 2}
개의 값이 되고, 루트의 내부가
0
{\displaystyle 0}
이면 루트는 없어짐으로
1
{\displaystyle 1}
개의 중복된 실수근을 갖게되고,
루트 내부에 음수가 존재하면 허수
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1\;}
의
i
{\displaystyle i}
가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.
또한, 루트의 내부가
0
{\displaystyle 0}
이면 루트는 없어짐으로
1
{\displaystyle 1}
개의 중복된 실수근을 갖게 될때는,
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
±
0
2
a
=
−
b
2
a
{\displaystyle {-b}{\pm {\sqrt {b^{2}-4ac} \over {2a}={-b}{\cancel {\pm {\sqrt {0} \over {2a}=-{b} \over {2a}
따라서, 축 의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수 의 꼭지점 과 대칭 축은
−
b
2
a
{\displaystyle -{b} \over {2a}
가 된다.
근의 공식의 유도
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
좌변을 완전제곱식 으로 만드는 것이다.
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
에서,
a
{\displaystyle a}
는
0
{\displaystyle 0}
이 아니므로 양변을
a
{\displaystyle a}
로 나눌 수 있다.
이렇게 이차항
x
2
{\displaystyle x^{2}
의 계수를
1
{\displaystyle 1}
로 만든다.
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}x+{\frac {c}{a}=0}
가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}x=-{\frac {c}{a}
일차항
x
{\displaystyle x}
의 계수를
2
{\displaystyle 2}
로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}x+\left({\frac {b}{2a}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}+\left({\frac {b}{2a}\right)^{2}
(
x
+
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
b
2
4
a
2
=
−
4
a
2
c
+
a
b
2
4
a
3
=
−
4
a
c
+
b
2
4
a
2
{\displaystyle \left(\textstyle x+{\frac {b}{2a}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}+{\frac {b^{2}{4a^{2}={-{4a^{2}c}+{ab^{2} \over {4a^{3}={-{4ac}+{b^{2} \over {4a^{2}
제곱근을 취하면
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \ x+{\frac {b}{2a}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
x
=
−
b
2
a
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
(단,
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
)
가 얻어진다.
이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
가
0
{\displaystyle 0}
일때, 즉
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.
D
=
(
b
a
)
2
−
4
(
b
2
a
)
2
=
0
{\displaystyle D=\left({b \over a}\right)^{2}-4\left({b \over 2a}\right)^{2}=0}
짝수 공식
이차 방정식에서 일차항의 계수
b
{\displaystyle b}
가 짝수인 경우
b
′
=
b
2
{\displaystyle \scriptstyle b'={\frac {b}{2}
를 대입하면,
위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.
x
=
−
b
′
±
b
′
2
−
a
c
a
{\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac\ }{a}
근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이
이차 방정식
x
2
+
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x-1=0}
을 근의 공식을 이용하여 풀어보자.
근의 공식
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
x
1
,
2
=
−
1
±
1
2
+
4
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+4\ }{2}
x
1
,
2
=
−
1
±
5
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {5\ }{2}
이다.
차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형 )에 의한 근의 공식 유도
다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항(
n
{\displaystyle n}
차항)의
x
{\displaystyle x}
의 계수,
a
{\displaystyle a}
로 나눈 다음
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}
의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있는데 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,
이차 방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
은 다음의 꼴로 정리되고,
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0}
그리고
y
2
+
p
=
0
{\displaystyle y^{2}+p=0}
의 꼴로 정리해서,
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}
로 다시 정리하면 되겠다.
따라서,
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
,
x
=
y
−
b
2
a
{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}
(
y
−
b
2
a
)
2
+
b
a
(
y
−
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
우선,
(
y
−
b
2
a
)
2
=
(
y
−
b
2
a
)
(
y
−
b
2
a
)
=
(
y
2
−
b
2
a
y
−
b
2
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
{\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}
=
(
y
2
−
2
b
2
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
=
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
{\displaystyle =\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}
따라서,
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
b
a
(
y
−
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
(
b
a
y
−
b
a
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
(
b
a
y
−
b
2
2
a
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}\right)+{c \over a}=0}
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
+
b
a
y
−
b
2
2
a
2
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}+{c \over a}=0}
y
2
+
(
1
4
(
b
a
)
2
−
1
2
(
b
a
)
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0}
y
2
−
1
4
(
b
a
)
2
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0}
y
2
−
(
b
2
4
a
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}\right)+{c \over a}=0}
y
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
{\displaystyle y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}-{c \over a}
y
2
=
a
b
2
−
4
a
2
c
4
a
3
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle y^{2}={ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}={b^{2}-4ac} \over 4a^{2}
y
2
=
±
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle {\sqrt {y^{2}=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac} \over 4a^{2}
y
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle y={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac} \over 2a}
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}
에서,
x
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
−
b
2
a
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac} \over 2a}-{b \over 2a}
x
=
±
b
2
−
4
a
c
−
b
2
a
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}-b \over 2a}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac} \over 2a}
여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식 으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은
y
2
{\displaystyle y^{2}
이다.
이러한
b
n
a
{\displaystyle {b \over \mathbf {n} a}
값은 이차함수의 꼭지점인 축 의 값과 관계있다.
근과 계수의 관계
근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
의 두 근
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
를 각각
α
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
β
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)
α
+
β
=
−
b
−
b
+
b
2
−
4
a
c
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-b-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}
α
+
β
=
−
2
b
2
a
{\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-2b}{2a}
∴
α
+
β
=
−
b
a
{\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}
α
β
=
b
2
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
(
2
a
)
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac\ })^{2}{(2a)^{2}
α
β
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}
α
β
=
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {4ac}{4a^{2}
∴
α
β
=
c
a
{\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}
|
α
−
β
|
=
|
−
b
+
b
2
−
4
a
c
+
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
|
{\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}\right|}
|
α
−
β
|
=
|
2
b
2
−
4
a
c
2
a
|
{\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }{2a}\right|}
∴
|
α
−
β
|
=
b
2
−
4
a
c
|
a
|
{\displaystyle \therefore \left|\alpha -\beta \right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }{\left|a\right|}
단, a는 0 이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기 에 따르면 분모가 0 일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)
이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
의 두근 을 각
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
라고 정의하고
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
을 근으로 갖는 이차방정식을
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0}
이라 한 후
이 이차방정식 앞에 계수
a
{\displaystyle a}
(단,
a
{\displaystyle a}
는
0
{\displaystyle 0}
이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
⟺
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\iff a(x-\alpha )(x-\beta )=0}
(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)
먼저 두 번째 이차방정식인
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )=0}
의 계수를 나누고 전개해주면
x
2
+
(
−
α
−
β
)
x
+
α
β
{\displaystyle x^{2}+(-\alpha -\beta )x+\alpha \beta }
- ⓐ
또한, 첫 번째 이차방정식인
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로
최고차항
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}
의 계수
a
{\displaystyle a}
로 나눠주면
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}x+{\frac {c}{a}=0}
- ⓑ
ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서
−
α
−
β
=
b
a
,
−
(
α
+
β
)
=
b
a
{\displaystyle -\alpha -\beta ={\frac {b}{a},-(\alpha +\beta )={\frac {b}{a}
∴
α
+
β
=
−
b
a
{\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}
∴
α
β
=
c
a
{\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}
참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미 에 의해 공식이 구해졌다.
같이 보기
각주
↑ 물론, 이차방정식이므로
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
도 만족해야 한다.