Aukštinė (trikampis)

Trikampio aukštinė – atkarpa, kuri jungia trikampio viršūnę su priešinga kraštine arba su jos tęsiniu ir sudaro su ja statų kampą.

Priklausomai nuo trikampio tipo, aukštinė gali būti trikampio viduje (kai trikampis yra smailusis), sutapti su trikampio kraštine (statusis trikampis) arba būti už trikampio ribų (bukasis trikampis). Trikampio aukštinių susikirtimo taškas vadinamas trikampio ortocentru.^[1]

Jei trikampio plotas yra S, o vienos iš jo kraštinių ilgis yra a, tada į šią kraštinę nubrėžtos aukštinės ilgis yra lygus:

${\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}.}$

Jei a, b ir c yra trikampio kraštinių ilgiai, tai į šias kraštines nubrėžtų aukštinių ilgiams galioja šie santykiai:

${\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}:{\frac {1}{b}:{\frac {1}{c}=bc:ac:ab.}$

Jei lygiašonio trikampio pagrindo ilgis yra c, o kraštinės ilgis yra a, tai iš Pitagoro teoremos h _c ² + (c /2) ² = a ² išplaukia, kad aukštinės, nubrėžtos prie pagrindo, ilgis yra:

${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}.}$

Jei trikampis yra lygiakraštis ir visų jo kraštinių ilgis lygus a, tai bet kuri aukštinė apskaičiuojama taip:

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}{2}.}$

Stačiojo trikampio aukštinė h, nubrėžta nuo stačiojo kampo viršūnės iki įžambinės c, padalija trikampį į du panašius trikampius. Jei ši aukštinė padalija įžambinę į n ir m ilgio segmentus (kur atkarpa n yra arčiau kraštinės a, o m yra arčiau kraštinės b), tada c / a = a / n ir c / b = b / m. Šį ryšį taip pat galima perrašyti į a ² = cn ir b ² = cm . Įterpiant jį į Pitagoro teoremą a ² + b ² = (n + m) ², gaunasi

${\displaystyle h^{2}=nm.\,}$

Kadangi stačiojo trikampio plotą galima apskaičiuoti kaip S = hc /2, arba kaip S = ab /2, tada

${\displaystyle h=ab/c.\,}$

• Pusiaukampinė
• Pusiaukraštinė

• Eric W. Weisstein, Altitude, MathWorld. (angl.)