Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a
i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.
Definicje
Definicja nieformalna
Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję
taką, że[1]:
![{\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\+\infty ,&x=0\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb11e2a2984c57c0dcbbd74a260dea7a2e5d8d5c)
oraz
[2].
W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji[2].
Delta Diraca jako dystrybucja
Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję
tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:
[3].
Delta Diraca jako miara
Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę
daną wzorem:
![{\displaystyle \delta (A):={\begin{cases}1,&0\in A\\0,&0\notin A\end{cases},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521150a25c449e38d58a0fe5fd2c4d7b9aaa900b)
gdzie
oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w
[4].
Własności delty Diraca
Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca.
Całkę funkcji
względem miary
po zbiorze
oznacza się często
[5], dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie
na całkę funkcji
względem delty Diraca po
Delta Diraca ma następujące własności:
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}x)=f(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9e9e5444285e91c605fdba7bf0c95aad130bed)
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9427f9971389412d024691776707c568e98a3e8)
Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.
Krok I
Gdy
jest funkcją prostą, tzn.
to bez straty ogólności możemy założyć, że
Wtedy
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}x)=\int _{\mathbb {R} }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{A_{i}(x)\delta ({\text{d}x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\delta (A_{i})=c_{j}=f(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc024672df6d493e69fcf8066abef4a7d4e60dd)
Krok II
Gdy
jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych
Wtedy korzystając z poprzedniego kroku
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}x)=\lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f_{n}(x)\delta ({\text{d}x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(0)=f(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460576357df1c7243245c744b9805f9586301537)
Krok III
Gdy
jest dowolną funkcją mierzalną, to
gdzie
![{\displaystyle f_{+}(x):={\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant 0\\0,&f(x)<0\end{cases},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cafbbe3816610d51324393dfcf36c05884c4bfc)
oraz
![{\displaystyle f_{-}(x):={\begin{cases}-f(x),&f(x)<0\\0,&f(x)\geqslant 0\end{cases}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8de58c38ca01e5bce32c270bde8b9459dd98a35)
Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}x)=\int _{\mathbb {R} }f_{+}(x)\delta ({\text{d}x)-\int _{\mathbb {R} }f_{-}(x)\delta ({\text{d}x)=f_{+}(0)-f_{-}(0)=f(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef41cf831b061322a6c04609899589fc91713568)
co kończy dowód.
W szczególności kładąc
otrzymuje się
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9427f9971389412d024691776707c568e98a3e8)
Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę
daną wzorem
[4]
Wówczas
![{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)\delta _{a}({\text{d}x)=f(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46dd73c93aa2e2d6ca17a7716fbf0c698de5f5b2)
Zastosowania
W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca
jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
takiej, że
[4].
Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili
o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ delta Diraca, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-12-16] .
- ↑ a b Matematyka, Fizyka, Chemia. Encyklopedia szkolna PWN, Warszawa: PWN, 2005 . Brak numerów stron w książce
- ↑ L.L. Górniewicz L.L., R.S.R.S. Ingarden R.S.R.S., Analiza matematyczna dla fizyków, wyd. V, Toruń: Wydawnictwo naukowe UMK, 2012, s. 563 .
- ↑ a b c J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 119 .
- ↑ J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 361 .