Дельта-функция
Бер үлчәмле дельта-функция.
Дельта-функция яки Дирак дельта функциясе, δ-функция — нокталы тәэсирне күрсәтүче яки бер ноктада тупланган физик зурлыклар (масса, коргы, көч һ.б.) тыгызлыгын тасвирлаучы гомумиләштерелгән функция.
Мәсәлән бер ноктада а тупланган m массасы тыгызлыгы бер үлчәмле Евклид фәзасында болай күрсәтелә:
Инглиз физигы Поль Дирак тарафыннан кертелгән.
Тасвир
Бер чын үзгәрмә зурлыктан дельта-функция
болай билгеләнә:
![{\displaystyle \delta (x)=\left\{\begin{matrix}+\infty ,&x=0,\\0,&x\neq 0;\\\end{matrix}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4219a4f0520c86f61af2441e416b7e0d39c0241)
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\,dx=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843b341b19a2b29acb3d790e393bcbf5f78403c1)
Әлеге билгеләмәдән бик мөһим үзлеге чыгарыла:
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075f1379977531564ac1c1cebde9ee8f963fffe0)
Дельта-функциядән чыгарылма һәркайда 0 гә тигез, тик x=0 ноктасында
тигез.
Үзлекләре
- Нуль белән теләгән интервал буенча дельта-функциядән интеграл 1-гә тигез.
![{\displaystyle x\delta ^{\prime }(x)=-\delta (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7842bdbf0ce771d759e090f9a6361bd60d5fe69e)
, биредә
—
. функциясенең нульләре
Хевисайд функциясе.
![{\displaystyle \theta (x)=\left\{\begin{array}{*{35}{l}0,&x<0,\\{\dfrac {1}{2},&x=0,\\1,&x>0.\\\end{array}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7214ed56491ff5bf52241b39b4fd9df63ef2b1)
![{\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154dc957c021690f7304f585c44ec0abfbec0aad)
Әдәбият
- Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
- Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
- Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
- Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
- Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
- Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.