Rozkład beta

Rozkład beta

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle \alpha >0}$ parametr kształtu (liczba rzeczywista) ${\displaystyle \beta >0}$ parametr kształtu (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;1]}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$
Dystrybuanta	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$[a]
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$   dla   ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }$
Kurtoza	${\displaystyle 6\,{\tfrac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}.}$
Entropia	${\displaystyle \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle -(\alpha -1)\psi (\alpha )}$${\displaystyle -(\beta -1)\psi (\beta )}$${\displaystyle +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\right){\frac {t^{k}{k!}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$
Odkrywca	Corrado Gini (1911)

Rozkład beta – rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa zadana za pomocą funkcji gęstości

${\displaystyle f(\alpha ,\beta ,x)=c_{\alpha ,\beta }\cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},}$

gdzie:

${\displaystyle x}$ – zmienna, ${\displaystyle x\in [0,1];}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ – parametry rozkładu, tzw. parametry kształtu,

${\displaystyle c_{\alpha ,\beta }$ – stała zależna od ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta ,}$ normująca rozkład do 1, tj.

${\displaystyle c_{\alpha ,\beta }={\frac {1}{\int \limits _{0}^{1}~u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}$${\displaystyle =\!{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {B} }$ – funkcja beta,

${\displaystyle \Gamma }$ – funkcja gamma.

Gdy ${\displaystyle \alpha =\beta =1,}$ to rozkład beta przyjmuje postać rozkładu jednostajnego.

Momenty zwykłe zmiennej o rozkładzie beta wynoszą:

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}.}$

Wartość oczekiwana rozkładu beta jest funkcją stosunku parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }.\end{aligned}$

Jeśli oba parametry są równe, ${\displaystyle \alpha =\beta ,}$ rozkład jest symetryczny ze średnią ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}.}$ Wraz z dążeniem proporcji parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ do wartości nieskończonych lub nieskończenie małych, rozkład staje się prawo- lub lewoskośny, ze średnią dążącą do granic przedziału ${\displaystyle [0,1]{:}$

${\displaystyle \lim _{\frac {\beta }{\alpha }\to 0}\mu =1}$

${\displaystyle \lim _{\frac {\beta }{\alpha }\to \infty }\mu =0.}$

Maksimum lub minimum rozkładu beta wyraża funkcja^[1]:

${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}.}$

Jeśli oba parametry są mniejsze od zera, ${\displaystyle \alpha ,\beta <0,}$ wartość funkcji wyznacza minimum rozkładu.

Wariancję rozkładu beta określa funkcja parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$^[1]:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}.}$

Wraz z dążeniem parametrów do zera, ${\displaystyle \alpha =\beta =0,}$ rozkład dąży do maksymalnej możliwej wariancji ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4}.}$ Przy ${\displaystyle \alpha =\beta =1,}$ rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{12}.}$ Wraz z dążeniem jednego lub obu parametrów do nieskończoności, wariancja dąży do zera.

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

Corrado Gini: Considerazioni sulle probabilita a posteriori e applicazioni al rapporto dei sessi nelle nascite umane. Studi Economico-Giuridici della Universita de Cagliari, Anno III, 1911, s. 133–171.