Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta | |
Parametry |
|
---|---|
Nośnik |
|
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa |
|
Dystrybuanta |
|
Wartość oczekiwana (średnia) |
|
Mediana |
|
Moda |
|
Wariancja |
|
Współczynnik skośności |
|
Kurtoza |
|
Entropia |
|
Funkcja tworząca momenty |
|
Funkcja charakterystyczna |
|
Odkrywca |
William Feller (1950) |
Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w -tej próbie. musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).
Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli
Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem dla liczb naturalnych k.
Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.
Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla
Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.
Momenty
Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem
Z tego otrzymujemy
oraz
z czego otrzymujemy
Wyższe momenty główne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Momenty centalne rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:
Inne własności
Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli ma rozkład Geo(p) i są liczbami naturalnymi, to
Związki z innymi rozkładami
- Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
- Jeśli są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem