Szereg potęgowy – w analizie matematycznej, szereg funkcyjny postaci[1][2][3]
| | ![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7797360979f1549b71db393246c45a3d649f94) |
|
|
lub[4]
| | ![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a99a3a60234ddcf661934be3bcf60d38adc6d22) |
|
|
przy czym współczynniki
oraz stała
są ustalonymi liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi[4]. Zmienna
także może być rzeczywista lub zespolona[1]. Liczba
nazywana jest środkiem szeregu.
Uważa się, że pierwszego zastosowania rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy dokonał James Stirling w 1717 roku[5].
Zbieżność
Każdy szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich wartości
należących do pewnego koła otwartego
| | ![{\displaystyle B_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0977290b0095db33a41d8b778e6b6f68b60ad6) |
|
|
o środku w punkcie
i rozbieżny poza jego domknięciem. Dla
szereg może być w pewnych punktach zbieżny a w innych rozbieżny. Liczbę
nazywa się promieniem zbieżności szeregu, a koło
– kołem zbieżności szeregu. Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny dla każdej wartości
przyjmuje się, że promień
jest nieskończenie wielki:
[3].
W przypadku rzeczywistej zmiennej
koło
stanowi przedział
nazywany przedziałem zbieżności szeregu[2].
Twierdzenie[6]. Niech dany będzie szereg potęgowy
,
o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Oznaczmy
(przy czym
, gdy
i
, gdy
). Wówczas:
- Szereg ten jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole
, gdzie
, a
oznacza domknięcie zbioru.
- Szereg
jest zbieżny jednostajnie na dowolnym kole
, gdzie
.
- Funkcja
jest holomorficzna, a jej pochodna jest dana przez
.
Dowód. (1) Niech
,
dla
. Wykazanie zbieżności jednostajnej jest równoważne z pokazaniem, że
,
gdzie
oznacza normę supremum podanej funkcji na
.
.
Korzystając z nierówności trójkąta,
,
ponieważ
. Aby pokazać, że całość zbiega do 0, należy skorzystać z nierówności
oraz z faktu, że istnieje stała rzeczywista
taka, że
.
,
a ostatni szereg po prawej dąży do 0, gdy
.
(2) Wystarczy zauważyć, że
, więc dowód przebiega tak samo jak w części (1).
(3) Oznaczamy
,
.
Wówczas
.
Funkcja
dla każdej liczby naturalnej
istnieje, ponieważ
jest wielomianem. Pierwsze wyrażenie jest równe 0, ponieważ
,
drugie dąży do 0 gdy
, a ostatnie
.
Wyrażając różnicę
przez wzór na różnicę n-tych potęg, można zastosować szacowanie
,
gdzie
jest odpowiednim promieniem zbieżności. Ostatni szereg dąży do 0, gdy
, więc całe wyrażenie dąży do 0.
Powyższy wzór należy rozumieć następująco:
- jeśli
to
i szereg jest zbieżny jedynie dla ![{\displaystyle z=z_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad64ec1047e413b9380364320ae4b0bd81693d8)
- jeśli natomiast
to
i szereg jest zbieżny dla wszystkich ![{\displaystyle z\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bca16290119bf0d87c4834979388a4193698a80)
Inny wzór na wartość promienia zbieżności szeregu wyraża kryterium d'Alemberta:
![{\displaystyle r={\frac {1}{\lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}{a_{n}\right|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67511e74d56fcde793c9fc51b023f9d63199ddde)
Wzór ten można stosować jedynie wtedy, gdy powyższa granica istnieje.
Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności. Wynika stąd natychmiast, że szereg potęgowy przedstawia funkcję ciągłą wewnątrz koła zbieżności. Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu
Problem zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest subtelny i nie daje się rozwiązać w przypadku ogólnym. Hugo Steinhaus podał przykład szeregu, który przedstawia funkcję nieciągłą w zbiorze wszędzie gęstym w brzegu koła.
Działania na szeregach potęgowych
Niech szeregi
i
będą zbieżne w swoich kołach zbieżności.
Dodawanie i odejmowanie
Przy powyższych oznaczeniach funkcję
przedstawiał będzie szereg
zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.
Mnożenie i dzielenie
Iloczynem Cauchy’ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg
Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako
Zauważmy teraz, że w przypadku dzielenia szeregów (tam gdzie jest ono wykonalne) mamy:
![{\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832cab5581da8c19bf21292218e4824181ea422e)
Dla wyznaczenia współczynników
wystarczy napisać
![{\displaystyle f(z)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d04fe9bd4ad9e75a9066e894117efdf71f3ee2a)
skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy
Całkowanie i różniczkowanie
Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, zarówno pochodną, jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie,
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(z-z_{0})^{n-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481a453c9eefedea56241be760684ac86411fd7b)
oraz
![{\displaystyle \int \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(z-z_{0})^{n+1}{n+1}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a2caf7106c573d3b6d37edffc4366d70ae6f88)
Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.
Funkcje analityczne
Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne. Każda funkcja analityczna daje się lokalnie – czyli w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny – przedstawić szeregiem potęgowym i na odwrót, każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności. Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną. Iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.
Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie, a współczynniki
jej rozwinięcia w szereg w otoczeniu dowolnego punktu
są dane wzorem:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5f35555aa1a4953fbd6d48a1518e19101f6d9c)
gdzie
oznacza
-tą pochodną
w punkcie
Oznacza to, że każda funkcja analityczna daje się lokalnie przedstawić swoim szeregiem Taylora.
Powyższe uwagi nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – tutaj funkcja, która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.
Zauważmy też, że jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.
Formalne szeregi potęgowe
Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki, gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.
Szereg potęgowy wielu zmiennych
Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych. Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:
![{\displaystyle f(z_{1},\dots ,z_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}\prod _{k=1}^{n}\left(z_{k}-c_{k}\right)^{j_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61abea58643793131d856e181e8e7033d7744b7)
gdzie
jest układem liczb naturalnych, współczynniki
są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a
oraz
są punktami
-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.
Przypisy
- ↑ a b szereg potęgowy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-09-01] .
- ↑ a b WłodzimierzW. Krysicki WłodzimierzW., LechL. Włodarski LechL., Analiza matematyczna w zadaniach. 1, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2019, s. 231-232, ISBN 978-83-01-14295-7 (pol.).
- ↑ a b WłodzimierzW. Krysicki WłodzimierzW., LechL. Włodarski LechL., Analiza matematyczna w zadaniach. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 342-344, ISBN 978-83-01-14296-4 (pol.).
- ↑ a b I.N.I.N. Bronsztejn I.N.I.N. i inni, Nowoczesne kompendium matematyki, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2022, s. 454, ISBN 978-83-01-14148-6 (pol.).
- ↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 113. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
- ↑ IanI. Stewart IanI., DavidD. Tall DavidD., Complex Analysis, Cambridge University Press, 23 sierpnia 2018, s. 85, DOI: 10.1017/9781108505468, ISBN 978-1-108-50546-8 (ang.).
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Power Series, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-09-01].
Power series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-09-01].