Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:
kjer je an koeficient n-tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a. Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije.
V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti. Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:
Uporaba potenčnih vrst
Potenčne vrste se uporabljajo prvenstveno v analizi, pa tudi v kombinatoriki kot rodovne funkcije in elektrotehniki kot Z-transformacije. Tudi na splošno znani desetiški zapiscelih števil se lahko gleda kot na potenčno vrsto, kjer je argument x določen kot 10. V teoriji števil je pojem p-adičnih števil v tesni zvezi s potenčnimi vrstami.
Zgledi potenčnih vrst
Elementarne funkcije
Vsak polinom se lahko razvije v potenčno vrsto okrog poljubne točke a, čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom se lahko na primer zapiše kot potenčno vrsto s središčem a = 0 kot:
ali okrog središča kot:
ali v resnici okrog poljubnega središča a. Na potenčne vrste se lahko gleda kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.
je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija:
Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst. Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:
Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta ni potenčna vrsta, je pa Laurentova vrsta. Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je . Takšni primeri so Puiseuxove vrste. Koeficienti ne smejo biti odvisni od spremenljivke . Tako na primer vrsta:
ni potenčna vrsta.
Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:
S potenčnimi vrstami se lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:
ki ni elementaren. Funkcijo se razvije v potenčno vrsto:
Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po členih:
Konvergenčni polmer
Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r, 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a| < r konvergirala in divergirala za |x − a| > r. Število r (tudi označbi R ali ) se imenuje konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:
oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):
(glej največja in najmanjša limita). Če limita obstaja, se jo lahko izračuna kot:
Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:
- potenčna vrsta absolutno konvergira in enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici {x : |x − a| < r},
- v splošnem se ne da reči ali vrsta konvergira ali divergira. Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x, če vrsta konvergira v x.
Operacije s potenčnimi vrstami
Seštevanje in odštevanje
Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okrog istega središča a, se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:
je enaka:
Množenje in deljenje
Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:
in se uporabi produkt z upoštevanjem koeficientov.
Odvajanje in integriranje
Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna, če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko se jo brez težav odvaja ali integrira po členih:
Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.