Gráficos da função hiperbólica inversa quanto às funções trigonométricas inversas . Na matemática , a função hiperbólica inversa fornece um ângulo hiperbólico correspondente a um determinado valor da função hiperbólica . A magnitude do ângulo hiperbólico é equivalente à área do setor hiperbólico da hipérbole unitária xy = 1x 2 − y 2 = 1ângulo circular é o dobro da área do setor circular de um círculo unitário .[ 1]
Quanto à nomenclatura, as abreviaturas preferenciais são arsinh, arcosh e assim por diante, sendo estas representantes das funções trigonométricas inversas . Em outros campos, tal como a ciência da computação , a abreviação é feita pelo prefixo asinh e ainda pode ser válido as notações sinh−1 (x ) , cosh−1 (x ) , entre outras.[ 2]
arsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1})}
O domínio é o conjunto de números reais .
Demonstração:
x
=
e
y
−
e
−
y
2
⟺
2
x
e
y
=
(
e
y
)
2
−
1
{\displaystyle x={\frac {e^{y}-e^{-y}{2}\Longleftrightarrow 2xe^{y}=(e^{y})^{2}-1}
Se
z
=
e
y
,
y
=
ln
(
z
)
{\displaystyle z=e^{y}\ ,\ y=\ln(z)}
2
x
z
=
z
2
−
1
⟺
z
2
−
2
x
z
−
1
=
0
{\displaystyle 2xz=z^{2}-1\Longleftrightarrow z^{2}-2xz-1=0}
z
1
,
2
=
2
x
±
4
x
2
+
4
2
=
x
±
x
2
+
1
⟺
y
1
,
2
=
ln
(
x
±
x
2
+
1
)
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}+4}{2}\ =x\pm {\sqrt {x^{2}+1}\Longleftrightarrow y_{1,2}=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}+1})}
Como
x
−
x
2
+
1
<
0
{\displaystyle x-{\sqrt {x^{2}+1}<0}
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}+1})}
arcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1})}
O domínio é o intervalo fechado [1, +∞ ) .
Demonstração:
x
=
e
y
+
e
−
y
2
<==>
2
x
e
y
=
(
e
y
)
2
+
1
{\displaystyle x={\frac {e^{y}+e^{-y}{2}\ <==>\ 2xe^{y}=(e^{y})^{2}+1}
Se
z
=
e
y
,
y
=
ln
(
z
)
{\displaystyle z=e^{y}\ ,\ y=\ln(z)}
2
x
z
=
z
2
+
1
<==>
z
2
−
2
x
z
+
1
=
0
<==>
{\displaystyle 2xz=z^{2}+1\ <==>\ z^{2}-2xz+1=0\ <==>\ }
z
1
,
2
=
2
x
±
4
x
2
−
4
2
=
x
±
x
2
−
1
<==>
y
1
,
2
=
ln
(
x
±
x
2
−
1
)
{\displaystyle z_{1,2}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}{2}\ =x\pm {\sqrt {x^{2}-1}\ <==>\ y_{1,2}=\ln(x\pm {\sqrt {x^{2}-1})}
Como
x
−
x
2
−
1
=
1
x
+
x
2
−
1
{\displaystyle x-{\sqrt {x^{2}-1}={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}
±
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1})}
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1})}
artanh
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}\right)}
O domínio é o intervalo aberto (−1, 1) .
arcoth
x
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}\right)}
O domínio é a união dos intervalos (−∞, −1) e (1, +∞) .
arcsch
x
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
=
ln
(
1
+
1
+
x
2
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}+{\sqrt {\frac {1}{x^{2}+1}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}{x}\right)}
O domínio é o conjunto dos números reais excluindo o 0.
arsech
x
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}+{\sqrt {\frac {1}{x^{2}-1}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}{x}\right)}
O domínio é o intervalo semiaberto (0, 1] .
raízes quadradas e da função logarítmica citadas acima. No caso de argumentos reais (z = x, onde x é real) , algumas simplificações podem ser feitas, como por exemplo,
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x+1}{\sqrt {x-1}={\sqrt {x^{2}-1}
ln
(
1
+
x
)
−
ln
(
1
−
x
)
=
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
{\displaystyle \ln \left({1+x}\right)-\ln \left({1-x}\right)=\ln \left({\tfrac {1+x}{1-x}\right)}
arsinh
u
±
arsinh
v
=
arsinh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsinh} \;u\pm \operatorname {arsinh} \;v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}\pm v{\sqrt {1+u^{2}\right)}
arcosh
u
±
arcosh
v
=
arcosh
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \;u\pm \operatorname {arcosh} \;v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}\right)}
artanh
u
±
artanh
v
=
artanh
(
u
±
v
1
±
u
v
)
{\displaystyle \operatorname {artanh} \;u\pm \operatorname {artanh} \;v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}\right)}
arsinh
u
+
arcosh
v
=
arsinh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arcosh
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \;u+\operatorname {arcosh} \;v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}+u{\sqrt {v^{2}-1}\right)\end{aligned}
Outras identidades
2
arcosh
x
=
arcosh
(
2
x
2
−
1
)
para
x
≥
1
4
arcosh
x
=
arcosh
(
8
x
4
−
8
x
2
+
1
)
para
x
≥
1
2
arsinh
x
=
arcosh
(
2
x
2
+
1
)
para
x
≥
0
4
arsinh
x
=
arcosh
(
8
x
4
+
8
x
2
+
1
)
para
x
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ para }x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ para }x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ para }x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ para }x\geq 0\end{aligned}
ln
(
x
)
=
arcosh
(
x
2
+
1
2
x
)
=
arsinh
(
x
2
−
1
2
x
)
=
artanh
(
x
2
−
1
x
2
+
1
)
{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}
1
<
x
{\displaystyle 1<x}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle -1<x<1}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}
|
x
|
>
1
{\displaystyle \left\vert x\right\vert >1}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}
x
≠
0
{\displaystyle x\not =0}
Expansão em série de arco seno hiperbólico:
arsinh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
±
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{7}{7}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{2n+1}{2n+1},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}
Expansão em série de arco cosseno hiperbólico:
arcosh
x
=
ln
(
2
x
)
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
(
2
x
)
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
2
n
,
x
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \,x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-2n}{2n},\qquad x>1\end{aligned}
Expansão em série de arco tangente hiperbólico:
artanh
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} \,x&=x+{\frac {x^{3}{3}+{\frac {x^{5}{5}+{\frac {x^{7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{2n+1},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}
Expansão em série de arco cossecante hiperbólico:
arcsch
x
=
arsinh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
±
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-7}{7}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-(2n+1)}{2n+1},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}
Expansão em série de arco secante hiperbólico:
arsech
x
=
arcosh
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}&=\ln {\frac {2}{x}-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{2n}{2n},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}
Expansão em série de arco cotangente hiperbólico:
arcoth
x
=
artanh
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}{3}+{\frac {x^{-5}{5}+{\frac {x^{-7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}{2n+1},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}
