Обернені гіперболічні функції — визначаються як обернені функції до гіперболічних функцій . Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x 2 − y 2 = 1обернені тригонометричні функції визначають довжину дуги одиничного кола x 2 + y 2 = 1arc є скороченням від arcus — дуга, тоді як префікс ar означає area — площа. Тож правильними є позначення arsinh, arsh і т.д. і назви гіперболічний ареасинус , гіперболічний ареакосинус і т.д.
Гіперболічний ареасинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареатангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакотангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареасеканс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосеканс для дійсного аргумента В комплексній площині функції можна визначити формулами:
arsh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}\right),}
Гіперболічний ареакосинус
arch
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}{\sqrt {z-1}\,),}
Гіперболічний ареатангенс
arth
z
=
1
2
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}\right).}
Гіперболічний ареакотангенс
arcth
z
=
1
2
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}\right).}
arsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}+{\sqrt {\frac {1}{z^{2}+1}\,\right),}
Гіперболічний ареакосеканс
arcsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
+
1
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}+{\sqrt {\frac {1}{z}+1}\,{\sqrt {\frac {1}{z}-1}\,\right).}
Квадратними коренями в цих формулах є головні значення квадратного кореня і логарифмічні функції є функціями комплексної змінної. Для дійсних аргументів можна здійснити деякі спрощення, наприклад
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x+1}{\sqrt {x-1}={\sqrt {x^{2}-1}
Обернені гіперболічні функції можна розкласти в ряди :
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{2n+1}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}
arch
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-2n}{(2n)},\qquad x>1\end{aligned}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}{3}+{\frac {x^{5}{5}+{\frac {x^{7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}
arcsch
x
=
arsh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-3}{3}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{-5}{5}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{-7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{-(2n+1)}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}
arsch
x
=
arch
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsch} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}&=\ln {\frac {2}{x}-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{2}{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\right){\frac {x^{4}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right){\frac {x^{6}{6}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}\right){\frac {x^{2n}{2n},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}
arcth
x
=
arth
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}{3}+{\frac {x^{-5}{5}+{\frac {x^{-7}{7}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}{(2n+1)},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}
Asymptotic expansion for the arsinh x is given by
arsh
x
=
ln
2
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
(
2
n
)
!
!
1
x
2
n
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}{\frac {1}{x^{2n}
d
d
x
arsh
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arch
x
=
1
x
2
−
1
d
d
x
arth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arcth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arsch
x
=
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
2
1
+
1
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}\\\end{aligned}
Для дійсних x :
d
d
x
arsch
x
=
∓
1
x
1
−
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
d
d
x
arcsch
x
=
∓
1
x
1
+
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}
Приклад диференціювання: якщо θ = arsh x , то:
d
arsh
x
d
x
=
d
θ
d
sh
θ
=
1
ch
θ
=
1
1
+
sh
2
θ
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}
sh
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
for
|
x
|
>
1
sh
(
arth
x
)
=
x
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
ch
(
arsh
x
)
=
1
+
x
2
ch
(
arth
x
)
=
1
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
th
(
arsh
x
)
=
x
1
+
x
2
th
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
x
for
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}\quad {\text{for}\quad |x|>1\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}\quad {\text{for}\quad -1<x<1\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\quad {\text{for}\quad -1<x<1\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}{x}\quad {\text{for}\quad |x|>1\end{aligned}
arsh
u
±
arsh
v
=
arsh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}\pm v{\sqrt {1+u^{2}\right)}
arch
u
±
arch
v
=
arch
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}\right)}
arth
u
±
arth
v
=
arth
(
u
±
v
1
±
u
v
)
{\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}\right)}
arsh
u
+
arch
v
=
arsh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arch
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
arch
(
2
u
2
−
1
)
=
2
arch
u
arch
(
2
u
2
+
1
)
=
2
arsh
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}+u{\sqrt {v^{2}-1}\right)\\\operatorname {arch} (2u^{2}-1)&=2\operatorname {arch} u\\\operatorname {arch} (2u^{2}+1)&=2\operatorname {arsh} u\end{aligned}
Обернені гіперболічні функції у Вікісховищі 
