Número heptagonal

Um número heptagonal é um número poligonal que representa um heptágono. O n-ésimo número heptagonal é dado pela fórmula:

:${\displaystyle {\frac {5n^{2}-3n}{2}$

Os primeiros números heptagonais são:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, … (sequência A000566 na OEIS)

A paridade dos números heptagonais segue a sequência ímpar - ímpar - par - par. O quíntuplo de um número heptagonal adicionado de 1 é um número triangular.

Um número heptagonal generalizado é obtido a partir da fórmula

 :${\displaystyle T_{n}+T_{\lfloor {\frac {n}{2}\rfloor },}$

onde T_n é o n'-ésimo número triangular.Os primeiros números heptagonais são:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, … (sequência A085787 na OEIS)

Todos os números heptagonais generalizados são heptagonais. Entre 1 e 70, os números heptagonais não generalizados também são Números de Pell.^[1]

A fórmula para a soma dos recíprocos dos números heptagonais é dada por: ^[2]

:${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}={\frac {1}{15}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}+{\frac {2}{3}\ln(5)+{\frac {1}+{\sqrt {5}{3}\ln \left({\frac {1}{2}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}\right)+{\frac {1}-{\sqrt {5}{3}\ln \left({\frac {1}{2}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}\right)}$

Uma analogia com relação à raiz quadrada pode ser feita, calculando a raiz heptagonal de x, dada pela fórmula:

:${\displaystyle n={\frac {\sqrt {40x+9}+3}{10}.}$

A fórmula da raiz heptagonal n de x é obtida da seguinte forma:

${\displaystyle x={\frac {5n^{2}-3n}{2}$

${\displaystyle 2x=5n^{2}-3n}$

${\displaystyle 5n^{2}-3n-2x=0}$

${\displaystyle n={\frac {-(-3)\pm {\sqrt {(-3)^{2}-(4\times 5\times -2x)}{2\times 5}$

${\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9-(-40x)}{10}$

${\displaystyle n={\frac {3\pm {\sqrt {9+40x}{10}$

${\displaystyle n={\frac {\pm {\sqrt {40x+9}+3}{10},}$

Referências

• Número hexagonal
• Número triangular
• Número quadrado
• Número poligonal

• Portal da matemática