Канторово множество
Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.
Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера, заданный в письме от 21 июня 1882 года:[1]
- Пусть обозначает множество предельных точек множества . Существует ли нигде неплотное множество , такое что пересечение
- не пусто?
Определения
Классическое построение
Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение
и называется канторовым множеством.
Множества |
С помощью троичной записи
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в -м разряде вырезаются на -м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление. Например, , так как . В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.
Как аттрактор
Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого
- или .
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.
Как счётная степень простого двоеточия
В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[3][4].
Свойства
- Канторово множество замкнуто.
- Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
- Канторово множество континуально.
- Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
- Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность равную . В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.
- Каждый нульмерный метризуемый компакт без изолированных точек гомеоморфен канторову множеству.
- Всякий метризуемый компакт — образ канторова множества при некотором непрерывном отображении.
- Канторово множество универсально для всех нульмерных пространств со счётной базой.
Вариации и обобщения
Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса — -я степень двухточечного дискретного пространства . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше есть непрерывный образ подпространства канторова куба .
Диадический компакт[англ.] — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство[англ.][5] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.
См. также
Примечания
- ↑ Moore, Gregory H. The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology (англ.) // Historia Math. — 2008. — Vol. 35, no. 3. — P. 220–241.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 136.
- ↑ Энгелькинг, 1986, с. 207—208.
- ↑ Канторово множество — статья из Математической энциклопедии. В. В. Федорчук
- ↑ Диадическое пространство — статья из Математической энциклопедии. В. А. Ефимов
Литература
- Энгелькинг Р. . Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.