Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида
и
. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировка
Теорема Лопиталя:
Если:
— действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности
точки
, где
— действительное число или один из символов
, причём
или
;
в
;
- существует
;
тогда существует
.
Пределы также могут быть односторонними.
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли[3].
Примеры
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}={\frac {5}{3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c38bf6c2912213fe66c87d8a5efa9f711187c4)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}={\frac {6}{6}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881cffe38b0e501a5830a6daf6f5b5e0c867f3ed)
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на
в наибольшей степени(в нашем случае
). В этом примере получается:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}{1+3/x}={\frac {1}{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9d2a159bd10d1bae3971664042f8ac4d220f2d)
— применение правила
раз;
при
;
.
Контрпример
В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных
не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример[4]:
- отношение
имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.
Следствие
Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:
Пусть функция
дифференцируема в проколотой окрестности точки
, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной
. Тогда функция
дифференцируема и в самой точке
, и
(то есть, производная
непрерывна в точке
).
Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению
.
См. также
Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.
Примечания
Литература
![Перейти к шаблону «External links»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|