Функция
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}{1-q^{n}
, представленная как изображение в Matplotlib с помощью версии метода Раскраски области определения [ 1]
Ряд Ламберта — в математике ряд , названный в честь Иоганна Генриха Ламберта . Этот ряд имеет вид
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
q
n
1
−
q
n
.
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}{1-q^{n}.}
Используя разложение знаменателя, ряд Ламберта можно представить в виде формального ряда
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
∑
k
=
1
∞
q
n
k
=
∑
m
=
1
∞
b
m
q
m
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}
в котором коэффициенты определяются с помощью свёртки Дирихле для
a
n
{\displaystyle a_{n}
с постоянной функцией
1
(
n
)
=
1
{\displaystyle 1(n)=1}
:
b
m
=
(
a
∗
1
)
(
m
)
=
∑
n
∣
m
a
n
.
{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}
Этот ряд может быть обращён с помощью формулы обращения Мёбиуса . Он представляет собой пример преобразования Мёбиуса .
Примеры
Поскольку последнее выражение представляет собой типичную теоретико-числовую сумму, почти всякая естественная мультипликативная функция будет в точности суммируемой, когда она употребляется в рядах Ламберта. Так, например,
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
0
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}{1-q^{n}
где
σ
0
(
n
)
=
d
(
n
)
{\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}
— число положительных делителей числа n .
Для суммы делителей высокого порядка имеем
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
α
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
α
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}{1-q^{n}
где
α
{\displaystyle \alpha }
— произвольное комплексное число , и
σ
α
(
n
)
=
(
Id
α
∗
1
)
(
n
)
=
∑
d
∣
n
d
α
{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}
функция делителей. В частности, для
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
, ряд Ламберта, который мы получаем, таков
q
F
′
(
q
)
F
(
q
)
{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}
Это (с точностью до множителя
q
{\displaystyle q}
) логарифмическая производная обычной порождающей функции для числа разбиений
F
(
q
)
:=
1
ϕ
(
q
)
=
∑
k
=
0
∞
p
(
k
)
q
k
=
∏
n
=
1
∞
1
1
−
q
n
.
{\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}.}
Примечания
Ссылки
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1964. п. 385.