Lambertova vrsta

Lambertova vŕsta [lámbertova ~] je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil neskončna vrsta oblike:

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}q^{n}{1-q^{n}={\frac {a_{1}q}{1-q}+{\frac {a_{2}q^{2}{1-q^{2}+\ldots ,\qquad (|q|>1)\!\,.}$

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku, astronomu in filozofu Johannu Heinrichu Lambertu. Lahko se strne formalno z razvojem imenovalca:

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}\!\,,}$

kjer so koeficienti nove vrste dani z Dirichletovo konvolucijo koeficientov ${\displaystyle a_{n}\,}$ s konstantno funkcijo ${\displaystyle 1(n)=1\,}$:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n|m}a_{n}.\,}$

Ta vrsta se lahko obrne z Möbiusovo inverzno formulo in je zgled Möbiusove transformacije.

Ker je zadnja vsota tipična vsota teorije števil, bodo skoraj vse naravne multiplikativne funkcije eksaktno seštevljive pri uporabi v Lambertovi vrsti. Tako je na primer:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}{1-q^{n}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \sigma _{0}(n)\equiv d(n)\equiv \tau (n)}$ funkcija števila pozitivnih deliteljev števila ${\displaystyle n\,}$.

Za funkcije deliteljev višjega reda je:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{\alpha }(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}{1-q^{n}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \alpha \,}$ poljubno kompleksno število,

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d|n}d^{\alpha }\!\,}$

pa je funkcija deliteljev.

Lambertovo vrsto v kateri so koeficienti ${\displaystyle a_{n}\,}$ trigonometrične funkcije, na primer ${\displaystyle a_{n}=\sin(2nx)\,}$, se lahko izračuna z različnimi kombinacijami logaritemskega odvoda Jacobijevih funkcij ϑ.

Druge Lambertove vrste so tudi za Möbiusovo funkcijo ${\displaystyle \mu (n)\,}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}{1-q^{n}=q\!\,.}$

Za Eulerjevo funkcijo ${\displaystyle \phi (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}{1-q^{n}={\frac {q}{(1-q)^{2}\!\,.}$

Za Liouvillovo funkcijo ${\displaystyle \lambda (n)}$:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}{1-q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}={\frac {1}{2}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)\!\,,}$

kjer je vsota na levi podobna Ramanudžanovi funkciji ϑ.

Sorodno za alternirajočo vrsto oblike:

${\displaystyle 4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}q^{2n+1}{1-q^{2n+1}=\sum _{n=1}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}=\vartheta _{3}^{2}(q)-1\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle r(n)\,}$ število predstavitev ${\displaystyle n\,}$ v obliki ${\displaystyle n=A^{2}+B^{2}\,}$, kjer sta ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ racionalni celi števili. Obakrat je ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)\,}$ Jacobijeva eliptična funkcija izražena kot funkcija ϑ.

Če se zamenja spremenljivka ${\displaystyle q=e^{-z}\,}$, se dobi druga običajna oblika za Lambertovo vrsto:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}\!\,,}$

kjer so koeficienti dani z:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d|m}a_{d}\!\,}$

enako kot prej. Primeri Lambertovih vrst v tej obliki z ${\displaystyle z=2\pi \,}$ se pojavljajo za Riemannovo funkcijo ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ za vrednosti lihih celih števil. Za podrobnosti glej konstanta zeta.

Viri navajajo Lambertovo vrsto za različne vrste vsot. Ker je na primer ${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\operatorname {Li} _{0}(q^{n})}$ funkcija polilogaritma, se lahko vsaka vsota oblike:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\operatorname {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\operatorname {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}\!\,}$

obravnava kot Lambertova vrsta, pri čemer so parametri ustrezno omejeni. Tako se lahko:

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\operatorname {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\operatorname {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\operatorname {Li} _{-3}(q^{n})\!\,,}$

za vse kompleksne ${\displaystyle q\,}$, ki ne ležijo na enotski krožnici, obravnava kot enakost Lambertove vrste. Enakost sledi neposredno iz nekaterih enakosti, ki jih je objavil Ramanudžan. Zelo temeljite raziskave Ramanudžanovega dela se lahko najdejo v Berndtovem delu.

• Erdős-Borweinova konstanta

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Lambert Series«. MathWorld.
• Lambert series na PlanetMath (angleško)