Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar . Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V , zapis ove operacije je sledeći:
( a , b ) ↦ a ⋅ b {\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b} Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:
( u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w {\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w} ( α u ) ⋅ v = α ( u ⋅ v ) {\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)} u ⋅ v = v ⋅ u {\displaystyle u\cdot v=v\cdot u} u ≠ 0 ⇒ u ⋅ u > 0 {\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0} Pri čemu su u , v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj .
Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora Skalarni proizvod vektora x → {\displaystyle {\vec {x} i y → {\displaystyle {\vec {y} se definiše na sledeći način:
x → ⋅ y → = | x → | | y → | cos ∡ ( x → , y → ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n {\displaystyle {\vec {x}\cdot {\vec {y}=|{\vec {x}|\,|{\vec {y}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x},{\vec {y}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n} Pri tom su | x → | {\displaystyle |{\vec {x}|} i | y → | {\displaystyle |{\vec {y}|} intenziteti tih vektora , određenih sledećim koordinatama :
x → = ( x 1 , x 2 , … x n ) {\displaystyle {\vec {x}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})} i y → = ( y 1 , y 2 , … y n ) {\displaystyle {\vec {y}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})} Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:
( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 2 ) + ( − 5 ) ⋅ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}
Dokaz Formula :x → ⋅ y → = | x → | ⋅ | y → | ⋅ cos ∡ ( x → , y → ) {\displaystyle {\vec {x}\cdot {\vec {y}=|{\vec {x}|\cdot |{\vec {y}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x},{\vec {y}\right)} se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:
Ako je γ {\displaystyle \gamma } , ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:
| c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle |{\vec {c}|^{2}=|{\vec {a}|^{2}+|{\vec {b}|^{2}-2|{\vec {a}||{\vec {b}|\cdot \cos {\gamma } Pošto je c → {\displaystyle {\vec {c} jednak b → − a → {\displaystyle {\vec {b}-{\vec {a} , sledi:
| b → − a → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle |{\vec {b}-{\vec {a}|^{2}=|{\vec {a}|^{2}+|{\vec {b}|^{2}-2|{\vec {a}||{\vec {b}|\cdot \cos {\gamma } Odakle se nalazi:
( b → − a → ) ⋅ ( b → − a → ) = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle \left({\vec {b}-{\vec {a}\right)\cdot \left({\vec {b}-{\vec {a}\right)={\vec {a}\cdot {\vec {a}+{\vec {b}\cdot {\vec {b}-2|{\vec {a}||{\vec {b}|\cdot \cos {\gamma } b → ⋅ b → − 2 a → ⋅ b → + a → ⋅ a → = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle {\vec {b}\cdot {\vec {b}-2{\vec {a}\cdot {\vec {b}+{\vec {a}\cdot {\vec {a}={\vec {a}\cdot {\vec {a}+{\vec {b}\cdot {\vec {b}-2|{\vec {a}||{\vec {b}|\cdot \cos {\gamma } Odatle se dobija konačna formula:
a → ⋅ b → = | a → | | b → | ⋅ cos γ . {\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}=|{\vec {a}||{\vec {b}|\cdot \cos {\gamma }.}
Ortogonalni vektori Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori x → {\displaystyle {\vec {x} i y → {\displaystyle {\vec {y} uzajamno normalni dobija se:
x → ⋅ y → = 0 {\displaystyle {\vec {x}\cdot {\vec {y}=0} . Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.
Osobine Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:
a → ⋅ b → = b → ⋅ a → {\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}={\vec {b}\cdot {\vec {a}
( a → + b → ) ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → {\displaystyle ({\vec {a}+{\vec {b})\cdot {\vec {c}={\vec {a}\cdot {\vec {c}+{\vec {b}\cdot {\vec {c}
( α a → ) ⋅ b → = a → ⋅ ( α b → ) = α a → ⋅ b → {\displaystyle (\alpha {\vec {a})\cdot {\vec {b}={\vec {a}\cdot (\alpha {\vec {b})=\alpha {\vec {a}\cdot {\vec {b}
Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.
Pošto je:
x → ⋅ y → = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle {\vec {x}\cdot {\vec {y}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}{y_{1}+{x_{2}{y_{2}+\dotsb +{x_{n}{y_{n}.} Za specijalan slučaj kada je x → = y → {\displaystyle {\vec {x}={\vec {y} jednakost prelazi u:
x → ⋅ x → = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle {\vec {x}\cdot {\vec {x}={x_{1}^{2}+{x_{2}^{2}+{x_{3}^{2}+\dots +{x_{n}^{2}
Na osnovu toga se zaključuje: | x → | = x → ⋅ x → = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 . {\displaystyle |{\vec {x}|={\sqrt {\vec {x}\cdot {\vec {x}={\sqrt {x_{1}^{2}+{x_{2}^{2}+\dots +{x_{n}^{2}.} Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.
Primena u fizici Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj.
Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja :
A = F → ⋅ r → = | F → | ⋅ | r → | ⋅ cos α {\displaystyle A={\vec {F}\cdot {\vec {r}=|{\vec {F}|\cdot |{\vec {r}|\cdot \cos \alpha }
Geometrijska interpretacija Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.
a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos θ {\displaystyle {\vec {a}\cdot {\vec {b}=|{\vec {a}|\,|{\vec {b}|\cos \theta \,} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } θ = arccos ( a → ⋅ b → | a → | | b → | ) . {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\vec {a}\cdot {\vec {b}{|{\vec {a}||{\vec {b}|}\right).}
Povezano Vektor Skalar Vektorski proizvod vektora Mešoviti proizvod vektora
Literatura Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd