Vennov diagram pre
A
△
B
{\displaystyle A\triangle B}
. Symetrická diferencia množín je zjednotenie množín bez ich prieniku .
∖
{\displaystyle ~\setminus ~}
=
{\displaystyle ~=~}
Vennov diagram pre
A
△
B
△
C
{\displaystyle A\triangle B\triangle C}
△
{\displaystyle ~\triangle ~}
=
{\displaystyle ~=~}
Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.[1]
Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako
A
△
B
{\displaystyle A\,\triangle \,B}
[1]
alebo
A
÷
B
{\displaystyle A\div B}
[chýba zdroj ]
alebo
A
⊕
B
.
{\displaystyle A\oplus B.}
[chýba zdroj ]
Napríklad symetrická diferencia množín
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}
a
{
3
,
4
}
{\displaystyle \{3,4\}
je množina
{
1
,
2
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,4\}
. Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.
Vlastnosti
Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)}
[1]
a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku :
A
△
B
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B)}
[2]
alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR :
A
△
B
=
{
x
:
(
x
∈
A
)
⊕
(
x
∈
B
)
}
.
{\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}
[1]
Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:
A
△
B
⊆
A
∪
B
,
{\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B,}
pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak
A
{\displaystyle A}
a
B
{\displaystyle B}
sú disjunktné množiny.
Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna :
A
△
B
=
B
△
A
,
{\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}
(
A
△
B
)
△
C
=
A
△
(
B
△
C
)
.
{\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).}
[1]
Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:
A
∩
(
B
△
C
)
=
(
A
∩
B
)
△
(
A
∩
C
)
.
{\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C).}
[2]
Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:
A
△
∅
=
A
,
{\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A,}
A
△
A
=
∅
.
{\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing .}
[1]
Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom , kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom .[2]
Referencie
↑ a b c d e f SLEZIAK, Martin. 2-UMA-115 Teória množín [online]. Bratislava: Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, 2011-11-16, [cit. 2018-07-22]. S. 27 – 29. Dostupné online.
↑ a b c Symmetric difference [online]. PlanetMath, [cit. 2018-07-23]. Dostupné online.
Zdroj
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.
Axiómy
axióma dvojice
axióma extenzionality
axióma nekonečna
axióma potenčnej množiny
axióma regularity
axióma sumy
axióma výberu
hypotéza kontinua
Martinova axióma
schéma axióm substitúcie
schéma axióm vymedzenia
Operácie Koncepty a metódy Množiny Teória
alternatívna teória množín
axiomatická teória množín
Buraliho-Fortiho paradox
Cantorova veta
forcing
Morseho-Kelleyho teória množín
naivná teória množín
paradoxy naivnej teórie množín
Principia Mathematica
Russellov paradox
Suslinova hypotéza
von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teória množín
Zermelova teória množín
Zermelova-Fraenkelova teória množín
Teoretici