1 + 1 + 1 + 1 + ···

1 + 1 + 1 + 1 + ··· je v matematiki divergentna geometrična vrsta, kar pomeni, da nima vsote v običajnem smislu. Njene delne vsote naraščajo brez meja in ne konvergirajo k realni limiti. Enake so naravnim številom (OEIS A000027):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Z znakom za vsoto se lahko vrsto zapiše kot:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{0}\!\,}$

ali preprosto:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1\!\,}$

Na zaporedje ${\displaystyle 1^{n}\,}$ se lahko gleda kot na geometrično vrsto s količnikom 1. Za razliko od drugih geometričnih vrst z racionalnim količnikom (razen -1) ne konvergira v realnih številih in tudi ne v p-adičnih številih za poljuben p. V smislu razširjene realne premice je vsota enaka:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \!\,,}$

ker njeno zaporedje delnih vsot narašča monotono brez meja.

Če se vrsta 1 + 1 + 1 + 1 + ··· pojavi pri fizikalnih problemih, se jo lahko včasih predstavi s pomočjo regularizacije s funkcijo ζ. Njena vrednost je enaka vrednosti v točki s = 0 Riemannove funkcije ζ:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}={\frac {1}{1-2^{1-s}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n^{s}\!\,,}$

kjer sta dve neskončni vsoti enaki znotraj območja, v katerem obe konvergirata (kompleksna števila z realnim delom večjim od 1). Druga vsota zagotavlja analitično nadaljevanje funkcije ζ na kompleksna števila s pozitivnim realnim delom, limita druge vsote, ko gre s proti 0, pa je enaka -1/2. V tem smislu je tako:

${\displaystyle 1+1+1+1+\cdots =\zeta (0)=-{\frac {1}{2}\!\,.}$

Elizalde je podal naslednjo anekdoto o odnosih do vrste:

»V kratkem obdobju manj kot enega leta sta imela dva priznana fizika, A. Slavnov in F. Yndurain, seminarja v Barceloni o dveh različnih temah. Nenavadno pri tem je bilo to, da sta oba predavatelja v nekem trenutku rekla poslušalcem: 'Kot vsakdo ve, velja: 1 + 1 + 1 + ··· = −¹⁄₂'. S tem sta morda hotela reči: Če tega ne veste, potem nima smisla da poslušate naprej.^[2]

Tudi njena ustrezna alternirajoča vrsta:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-1+\cdots \!\,,}$

včasih imenovana Grandijeva vrsta, je divergentna.

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• 1 + 2 + 4 + 8 + ···
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ···

• Elizalde, Emilio (2004). »Cosmology: Techniques and Applications«. Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions.
• Tao, Terence (10. april 2010), The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation (v angleščini), pridobljeno 30. januarja 2014