Eulerjeva karakteristika

Eulerjeva karakteristika (tudi Euler-Poincaréjeva karakteristika) (oznaka ) je v matematiki oziroma v algebrski topologiji in poliedrski kombinatoriki topološka invarianta.

Imenuje se po švicarskem matematiku, fiziku in astronomu Leonhardu Eulerju (1707–1783) in francoskem matematiku in filozofu Henriju Poincaréju (1854–1912).

Najprej so definirali Eulerjevo karakteristiko za poliedre. V sodobni matematiki izhaja Eulerjeva karakteristika iz homologije in povezuje mnogo drugih invariant.

Poliedri

Eulerjevo karakteristiko so najprej definirali za poliedre

kjer je

  • število oglišč poliedra
  • število robov poliedra
  • število stranskih ploskev poliedra

Konveksni poliedri imajo Eulerjevo karakteristiko enako

Ta obrazec je znan tudi kot Eulerjev izrek o poliedrih ali Eulerjeva poliedrska formula.

V nadaljevanju je podana Eulerjeva karakteristika za nekatere konveksne poliedre:

ime slika oglišča
V 		robovi
E 		stranske ploskve
F 		Eulerjeva karakteristika:
χ
tetraeder 4 6 4 2
heksaeder ali kocka 8 12 6 2
oktaeder 6 12 8 2
dodekaeder 20 30 12 2
ikozaeder 12 30 20 2

Nekonveksni poliedri imajo različne vrednosti Eulerjeve karakteristike:

ime Slika oglišča
V 		robovi
E 		stranske ploskve
F 		Eulerjeva karakteristika:
χ
tetrahemiheksaeder 6 12 7 1
oktahemioktaeder 12 24 12 0
kubohemioktaeder 12 24 10 −2
veliki ikozaeder 12 30 20 2

Zgledi

Eulerjeva karakteristika se lahko izračuna za

ime slika Eulerjeva karakteristika
interval 1
krožnica 0
enotska krožnica 1
sfera 2
torus
0
dvojni torus −2
trojni torus −4
realna projektivna ravnina 1
Möbiusov trak 0
Kleinova steklenica 0
dve sferi (nepovezani)
(disjunktna unija dveh sfer) 		2 + 2 = 4
tri sfere (nepovezane)
(disjunktna unija treh sfer) 		2 + 2 + 2 = 6

Zunanje povezave