Політоп
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Assorted_polygons.svg/400px-Assorted_polygons.svg.png)
В елементарній геометрії, політоп (англ. polytope) — це геометричний об'єкт з «плоскими» сторонами. Поняття політопа узагальнюється на довільне число розмірностей, відповідно числу розмірностей кажуть про n-політоп. Наприклад, двовимірний багатокутник є 2-політопом, а тривимірний багатогранник є 3-політопом. Під пласкими сторонами (k+1)-політопа розуміють сторони на одиницю меншої розмірності — k-політопи.
Деякі теорії узагальнюють ідею політопа та розглядають такі об'єкти як необмежені апейротоп[en] і мозаїку, розбиття або замощення викривлених многовидів, включаючи, наприклад, сферичні багатогранники, та теоретико-множинні абстрактні політопи.
Підходи до визначення
Нині термін політоп охоплює широкий клас об'єктів і має різні визначення в математичній літературі. Багато з цих визначень не еквівалентні, що призводить до різних наборів об'єктів, які називають політопами. Вони реалізують різні підходи до узагальнення опуклих політопів, щоб включити інші об'єкти з аналогічними властивостями.
Оригінальний підхід за Людвігом Шлефлі, Торольдом Госсе та іншими починається з розширення за аналогією на чотири або більше вимірів ідеї багатокутника і багатогранника відповідно в двох і трьох вимірах.
Спроби узагальнити ейлерову характеристику багатогранників до багатовимірних політопів привели до розробки топології і трактування розкладу або CW-комплексу як аналога політопа. За такого підходу політоп можна розглядати як теселяцію або розклад деякого заданого многовиду. Прикладом такого підходу є визначення політопа як множини точок, яка допускає симпліційне розкладання. У цьому визначенні політоп є об'єднанням скінченного числа симплексів, з додатковою властивістю, що для будь-яких двох симплексів, які мають непорожній перетин, їхній перетин є вершиною, ребром або гранню вищої міри, ніж два[1]. Однак це визначення не дозволяє існування зіркових політопів зі внутрішніми структурами, і тому є обмеженим певними галузями математики.
Відкриття зірчастих багатогранників та інших незвичайних конструкцій призвело до ідеї багатогранника як обмежувальної поверхні, нехтуючи її внутрішню частину. У цьому світлі опуклі політопи в р-просторі еквівалентні замощенню (р-1)-сфери, тоді як інші можуть бути замощеннями інших еліптичних, плоских або тороїдальних (р-1)-поверхонь. Багатогранник розуміють як поверхню, чиї грані є багатокутниками, а 4-політоп — як гіперповерхню, чиї фасети (грані) є багатогранниками, і так далі.
Ідею побудови вищих політопів від політопів меншої розмірності також іноді поширюють вниз за розмірністю, розглядаючи ребро як 1-політоп, обмежений парою точок, а точку або вершину — як 0-політоп. Такий підхід використовується, наприклад, у теорії абстрактних політопів.
У деяких галузях математики, терміни «політоп» і «багатогранник» використовують у іншому сенсі: багатогранник є загальним об'єктом у будь-якому числі вимірів, а політоп означає обмежений багатогранник[2]. Ця термінологія, як правило, обмежується опуклими політопами та багатогранниками. За цією термінологією, опуклий багатогранник є перетином скінченного числа півпросторів і визначається його сторонами, тоді як опуклий політоп є опуклою оболонкою скінченного числа точок і визначається його вершинами.
Елементи
Політоп містить елементи різної розмірності, такі як вершини, ребра, грані, клітини і т. д. Термінологія для них не повною мірою відповідає одна одній за різними авторами. Наприклад, деякі автори використовують грань для позначення (n—1)-вимірного елемента, тоді як інші використовують грань для позначення конкретно 2-вимірної грані. Автори можуть використовувати J-грань для того, щоб указати на елемент із J вимірами. Деякі з них використовують термін ребро для позначення гребеня, тоді як Коксетер називає коміркою (n—1)-вимірний елемент.
Терміни, прийняті в цій статті, наведено в таблиці:
Розмірність
елемента |
Термін (n-політоп) |
---|---|
-1 | Нульовий політоп (необхідний в абстрактній теорії) |
0 | вершина |
1 | ребро |
2 | грань |
3 | комірка |
…. | …. |
J | J -гранний — елемент рангу J = -1, 0, 1, 2, 3, …, N |
… | … |
n — 2 | гребінь або підгрань — (n—2)-грань |
n — 1 | фасета — (n—1)-грань |
n | сам n-політоп |
n-Вимірний політоп обмежений певним числом (n—1)-вимірних фасет. Ці фасети є самі політопами, чиї фасети є (n—2)-вимірними гребенями початкового політопа. Кожен гребінь виникає як перетин двох фасет (але перетин двох фасет не обов'язково має бути гребенем). Гребені це політопи, чиї фасети приводять до (n—3)-вимірних меж початкового політопа, і т. д. Ці обмежувальні субполітопи можна назвати гранями або, точніше, J-вимірними гранями. 0-вимірна грань, яку називають вершиною, складається з однієї точки. 1-вимірну грань, називана ребром, є відрізком. 2-вимірна грань є багатокутником, а 3-вимірна грань, яку іноді називають коміркою, є багатогранником.
Властивості
- Кожен політоп допускає тріангуляцію, тобто, може бути поданий як об'єднання скінченної множини симплексів таких що
- для будь-якого зі симплексів із в входять усі його грані;
- будь-які два симплекси або взагалі не мають спільної точки, або перетинаються тільки по цілій грані певної розмірності.
- Перетин і об'єднання скінченного числа політопів є політопом.
Варіації та узагальнення
Топологічний політоп — топологічний простір, гомеоморфний деякому політопу.
Застосування
При вивченні оптимізації, лінійне програмування вивчає максимуми і мінімуми лінійних функцій звужених до меж n-вимірного політопа.
У лінійному програмуванні політопи виникають при використанні узагальнених барицентричних координат.
У твісторній теорії, галузі теоретичної фізики, політоп, який називається амплітуедр[en], використовують для розрахунку амплітуди розсіювання субатомних частинок при їх зіткненні. Конструкція носить чисто теоретичний характер, без відомого фізичного прояву, введена для того, щоб значно спростити деякі розрахунки.
Див. також
Примітки
- ↑ Grünbaum (2003)
- ↑ Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization, " 1999, ISBN 978-0471359432, Definition 2.2.
|
Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Родина | An | Bn | I₂(p) / Dn | E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂ | Hn | |||||||
Правильний многокутник | Правильний трикутник | Квадрат | p-кутник | Правильний шестикутник | Правильний п'ятикутник | |||||||
Однорідний многогранник | Правильний тетраедр | Правильний октаедр • Куб | Півкуб | Правильний додекаедр • Правильний ікосаедр | ||||||||
Однорідний 4-політоп | П'ятикомірник | 16-комірник • Тесеракт | Півтесеракт | 24-комірник | 120-комірник • 600-комірник | |||||||
Однорідний 5-політоп | Правильний 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-гіперкуб | 5-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 6-політоп | Правильний 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-гіперкуб | 6-півгіперкуб | 122 • 221 | ||||||||
Однорідний 7-політоп | Правильний 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-гіперкуб | 7-півгіперкуб | 132 • 231 • 321 | ||||||||
Однорідний 8-політоп | Правильний 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-гіперкуб | 8-півгіперкуб | 142 • 241 • 421 | ||||||||
Однорідний 9-політоп | Правильний 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-гіперкуб | 9-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний 10-політоп | Правильний 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-гіперкуб | 10-півгіперкуб | |||||||||
Однорідний n-політоп | Правильный n-симплекс | n-ортоплекс • n-гіперкуб | n-півгіперкуб | 1k2 • 2k1 • k21 | n-п'ятикутний многогранник | |||||||
Topics: Родини політопів • Правильні політопи • Список правильних політопів і з'єднань |
|
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |