F₄ (математика)

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума[en]
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона
п о р

F₄ — назва однієї з п’яти (компактних або комплексних) виняткових простих груп Лі, а також її алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {f}_{4}$. F₄ має 4 ранг і розмірність 52. Група F₄ однозв’язна, а її група зовнішніх автоморфізмів тривіальна. Найпростіше точне лінійне представлення групи F₄, а також її алгебри Лі, 26-вимірно і незвідно.

Алгебра Лі F₄ може бути отримана шляхом додавання до 36-вимірної алгебри Лі so(9) 16 генераторів, що перетворюються як спінори, аналогічно тому, як це робиться в конструюванні E₈.

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1)}$,

${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$,

${\displaystyle (0,\pm 1,0,0)}$,

${\displaystyle (0,0,\pm 1,0)}$,

${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$,

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2},\pm {\frac {1}{2},\pm {\frac {1}{2},\pm {\frac {1}{2}\right)}$,

і прості додатні кореневі вектори

${\displaystyle (0,1,-1,0)}$,

${\displaystyle (0,0,1,-1)}$,

${\displaystyle (0,0,0,1)}$,

${\displaystyle \left({\frac {1}{2},-{\frac {1}{2},-{\frac {1}{2},-{\frac {1}{2}\right)}$.

Для даної групи це - група симетрії гіпероктаедра.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}$

4-вимірна об'ємноцентрована кубічна ґратка має F₄ як точкову групу симетрії. Це поєднання двох гіперкубічних ґраток, точки кожної з яких лежать у центрах гіперкубів іншої, утворює кільце, називане кільцем кватерніонів Гурвіца. 24 кватерніони Гурвіца з нормою 1 утворюють гіпероктаедр.

• John Baez, The Octonions, Section 4.2: F₄, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205 [Архівовано 9 грудня 2008 у Wayback Machine.]. On-line HTML варіант [Архівовано 14 серпня 2018 у Wayback Machine.](англ.)