Тіло (алгебра)

Запит «Кільце з діленням» перенаправляє сюди; див. також інші значення.

Тіло — алгебрична структура, всі елементи якої утворюють абелеву групу щодо дії додавання, а всі елементи, крім нуля,— мультиплікативну групу і, крім того, обидві групові операції зв'язані між собою законами дистрибутивності. Якщо множення в тілі комутативне, то тіло називається комутативним або полем.

Формальне визначення

Множина ${\displaystyle K}$ з заданими на ній алгебраїчними операціями додавання і множення називається тілом, якщо виконуються умови:

1. ${\displaystyle a+b=b+a\,}$   (комутативність додавання);
2. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\,}$   і   ${\displaystyle (ab)c=a(bc)\,}$   (асоціативність множення);
3. Існують такі елементи ${\displaystyle 0,1\in K\,}$, що для довільного ${\displaystyle a\in K}$ виконується ${\displaystyle a+0=0+a=a1=1a=a\,}$  (існування нейтральних елементів);
4. ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac\,}$   і   ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$  (дистрибутивність);
5. Для довільного ${\displaystyle x\in K}$ існують ${\displaystyle y,z\in K}$, такі, що ${\displaystyle y+x=x+y=0}$   і   ${\displaystyle zx=xz=1}$  ( існування зворотного елемента).

Остання умова виділяє тіло як особливу структуру серед кілець — тіло є кільцем із діленням.

Властивості

• Теорема Веддерберна — довільне скінченне тіло є скінченним полем.
• Кожне тіло є алгеброю з діленням над своїм центром. Зокрема тіло є центральною простою алгеброю над своїм центром.
• Якщо S є простим модулем над кільцем R, то множина всіх ендоморфізмів S є тілом. Довільне тіло можна задати в такий спосіб за допомогою деякого простого модуля

Приклади

• Тіло кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} }$.
• Тіло дісних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Див. також

• Поле (алгебра)
• Теорема Сколема — Нетер
• Центральна проста алгебра

Джерела

• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)