三角函數

三角函數，勾股弦與角之繫也。

直角三角形，取一銳角，簡曰角。為便捷計，不論長短，角之對邊曰勾，角之旁曰股。

角之正弦者，弦（${\displaystyle r}$）除勾（${\displaystyle y}$）也（記曰${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{r}$）；

餘弦者，弦除股（${\displaystyle x}$）也（記曰${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{r}$）；

正切者，股除勾也（記曰${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y}{x}$）；

餘切者，勾除股也（記曰${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}$）；

正割者，股除弦也（記曰${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}$）；

餘割者，勾除弦也（記曰${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {r}{y}$）。

迨坐標幾何生，其義遂新。以零點為心，徑一作一圓。定其始邊，凡一角，應圓上一點，使徑為弦，縱座標勾，橫為股。因有：

首象限，即自東（零度）始，迄北（九十度），正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正；

次象限，即自北（九十度）始，迄西（百八十度），正弦、餘割為正，餘弦、正割、正切、餘切皆負；

三象限，即自西（百八十度）始，迄南（二百七十度），正弦、餘弦、正割、餘割皆負，正切、餘切為正；

四象限，即自南（二百七十度）始，迄東（三百六十度，即零度），正弦、餘割、正切、餘切皆負，餘弦、正割為正。

以弧度觀之，奇數乘方除以階乘（${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2n+1}{(2n+1)!}$），再以正負之法合之，得正弦級數（${\displaystyle \sin \alpha =\alpha -{\frac {\alpha ^{3}{3!}+{\frac {\alpha ^{5}{5!}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}{(2n+1)!}$ ）。

偶乘方除以階乘（${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2n}{(2n)!}$），同法合之，得餘弦（${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}{2!}+{\frac {\alpha ^{4}{4!}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n}{(2n)!}$ ） 。

若依此法，以弧長入，出之長，則三角函數可入複數、矩陣、算子，不必拘於角耳。

歐拉究級數，得歐拉等式，知三角函數可以指數示之。取一角，乘負一開方，歐拉數之其乘方，得一數（${\displaystyle e^{i\alpha }$）；減倒數，半之，除以負一開方，得正弦（${\displaystyle \sin \alpha \,=\,{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha } \over 2i}$）；加倒數，半之，得餘弦（${\displaystyle \cos \alpha \,=\,{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha } \over 2}$）。

商關係

• ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}$
• ${\displaystyle \cot x={\frac {\csc x}{\sec x}$

平方關係

• ${\displaystyle {(\sin x)}^{2}+{(\cos x)}^{2}=1}$
• ${\displaystyle 1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x}$
• ${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$

和角、差角公式

• ${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}$
• ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}$
• ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$

倍角公式

• ${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$
• ${\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}$
• ${\displaystyle \tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$

積化和公式

• ${\displaystyle \sin x\cos y={\frac {1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]}$
• ${\displaystyle \cos x\cos y={\frac {1}{2}[\cos(x+y)+\cos(x-y)]}$
• ${\displaystyle \sin x\sin y=-{\frac {1}{2}[\cos(x+y)-\cos(x-y)]}$

和化積公式

• ${\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}\cos {\frac {x\mp y}{2}$
• ${\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}\cos {\frac {x-y}{2}$
• ${\displaystyle \sin x+\sin y=-2\sin {\frac {x+y}{2}\sin {\frac {x-y}{2}$

另有多倍角之式，然其煩雜，不易撰之，是以簡略。

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