f (x ) = e −x 2 的图像，这个函数与 x 轴之间的面积等于 π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi } 高斯积分 （英語：Gaussian integral ），有时也被称为概率积分 ，是高斯函数 （e −x 2 ）在整个實數線 上的积分 。它得名于德国 数学家 兼物理学家 卡爾·弗里德里希·高斯 之姓氏。
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}dx={\sqrt {\pi } 高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布 的归一化常数 。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布 的误差函数 和累积分布函数 密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学 中，谐振子基态的概率密度；在路径积分公式中，谐振子的传播子；以及统计力学 中的配分函数，以上的计算都要用到这个积分。
我们可以通过Risch算法 证明误差函数不具有初等函数 形式；尽管如此，高斯积分可以通过多元微积分 方法分析求解。虽然不定积分 ∫ e − x 2 d x {\displaystyle \int e^{-x^{2}\,dx} 定积分 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}\,dx}
任意高斯函数 的定积分为
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}.}
要想找到高斯积分的闭合形式，首先定义一个近似函数：
I ( a ) = ∫ − a a e − x 2 d x {\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}dx} 高斯积分可以通过它的极限来运算：
lim a → ∞ I ( a ) = ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x . {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}\,dx.} 对I {\displaystyle I}
I 2 ( a ) = ( ∫ − a a e − x 2 d x ) ⋅ ( ∫ − a a e − y 2 d y ) = ∫ − a a ( ∫ − a a e − y 2 d y ) e − x 2 d x = ∫ − a a ∫ − a a e − ( x 2 + y 2 ) d x d y . {\displaystyle I^{2}(a)=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}\,dy\right)=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}\,dy\right)\,e^{-x^{2}\,dx=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.} 根据富比尼定理 ，以上的双重积分可以被看作是直角坐标系 上一个正方形的面积积分∫ e − ( x 2 + y 2 ) d ( x , y ) {\displaystyle \int e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y)} 顶点 为{ ( − a , a ) , ( a , a ) , ( a , − a ) , ( − a , − a ) } {\displaystyle \{(-a,a),(a,a),(a,-a),(-a,-a)\}
不论x {\displaystyle x} e x {\displaystyle e^{x} 内切圆 的积分必须小于I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2} 外接圆 积分必须大于I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2} 极坐标系 x = r cos θ {\displaystyle x=r\,\cos \theta } y = r sin θ {\displaystyle y=r\,\sin \theta } d ( x , y ) = r d ( r , θ ) {\displaystyle d(x,y)=r\,d(r,\theta )}
∫ 0 2 π ∫ 0 a r e − r 2 d r d θ < I 2 ( a ) < ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r e − r 2 d r d θ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}re^{-r^{2}\,dr\,d\theta } 得到
π ( 1 − e − a 2 ) < I 2 ( a ) < π ( 1 − e − 2 a 2 ) . {\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}).} 夹擠定理 获得高斯积分
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}\,dx={\sqrt {\pi }.}
在这里，对于n 为自然数时，沃利斯积分 定义为：
I n = ∫ 0 π 2 sin n x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 2 | n n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 4 5 ⋅ 2 3 ⋅ 1 2 ∤ n {\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin ^{n}x\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {n-1}{n}\cdot {\dfrac {n-3}{n-2}\cdots {\dfrac {3}{4}\cdot {\dfrac {1}{2}\cdot {\dfrac {\pi }{2}&2|n\\{\dfrac {n-1}{n}\cdot {\dfrac {n-3}{n-2}\cdots {\dfrac {4}{5}\cdot {\dfrac {2}{3}\cdot 1&2\nmid n\end{cases} 因此有n + 1 n + 2 = I n + 2 I n {\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}={\frac {I_{n+2}{I_{n} I n + 2 ⩽ I n + 1 ⩽ I n {\displaystyle I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_{n} 夹挤定理 得到lim n → ∞ I n + 1 I n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {I_{n+1}{I_{n}=1} ( n + 2 ) I n + 1 I n + 2 ( n + 1 ) I n I n + 1 = 1 {\displaystyle {\frac {(n+2)I_{n+1}I_{n+2}{(n+1)I_{n}I_{n+1}=1} ( n + 1 ) I n I n + 1 = I 0 I 1 = π 2 {\displaystyle (n+1)I_{n}I_{n+1}=I_{0}I_{1}={\frac {\pi }{2}
lim n → ∞ ( n + 1 ) I n + 1 n I n = lim n → ∞ ( n + 1 ) I n I n + 1 n I n 2 = lim n → ∞ π 2 n I n 2 = 1 lim n → ∞ n I n = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)I_{n+1}{nI_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)I_{n}I_{n+1}{nI_{n}^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{2nI_{n}^{2}=1\\\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}I_{n}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}\end{aligned} 考虑到e t = ∑ k = 0 ∞ t k k ! {\displaystyle \mathrm {e} ^{t}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}{k!} 1 1 − t = ∑ k = 0 ∞ t k {\displaystyle {\frac {1}{1-t}=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k} t ⩾ 0 {\displaystyle t\geqslant 0}
1 1 − t ⩾ e t ⩾ 1 + t {\displaystyle {\frac {1}{1-t}\geqslant \mathrm {e} ^{t}\geqslant 1+t} 当t = x 2 {\displaystyle t=x^{2}
1 − x 2 ⩽ e − x 2 ⩽ 1 1 + x 2 {\displaystyle 1-x^{2}\leqslant \mathrm {e} ^{-x^{2}\leqslant {\frac {1}{1+x^{2} 各边同时乘方运算与积分，并且最右边的部分积分区间大于左边与中间部分，变成：
∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) n d x ⩽ ∫ 0 1 e − n x 2 d x ⩽ ∫ 0 ∞ d x ( 1 + x 2 ) n {\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-nx^{2}\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n} 最左边变量代换为x = sin θ {\displaystyle x=\sin \theta } d x = cos θ d θ {\displaystyle \mathrm {d} x=\cos \theta \mathrm {d} \theta } x = y n {\displaystyle x={\frac {y}{\sqrt {n} x = tan θ {\displaystyle x=\tan \theta } d x = sec 2 θ d θ = d θ cos 2 θ {\displaystyle \mathrm {d} x=\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }
∫ 0 π 2 cos 2 n + 1 θ d θ ⩽ 1 n ∫ 0 n e − y 2 d y ⩽ ∫ 0 π 2 cos 2 n − 2 θ d θ {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}\cos ^{2n+1}\theta \mathrm {d} \theta \leqslant {\frac {1}{\sqrt {n}\int _{0}^{\sqrt {n}\mathrm {e} ^{-y^{2}\mathrm {d} y\leqslant \int _{0}^{\frac {\pi }{2}\cos ^{2n-2}\theta \mathrm {d} \theta } 利用诱导公式 cos ( π 2 − θ ) = sin θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}-\theta \right)=\sin \theta } n {\displaystyle {\sqrt {n}
n ∫ 0 π 2 sin 2 n + 1 θ d θ ⩽ ∫ 0 n e − y 2 d y ⩽ n ∫ 0 π 2 sin 2 n − 2 θ d θ {\displaystyle {\sqrt {n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin ^{2n+1}\theta \mathrm {d} \theta \leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}\mathrm {e} ^{-y^{2}\mathrm {d} y\leqslant {\sqrt {n}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}\sin ^{2n-2}\theta \mathrm {d} \theta } 此时即为n I 2 n + 1 ⩽ ∫ 0 n e − y 2 d y ⩽ n I 2 n − 2 {\displaystyle {\sqrt {n}I_{2n+1}\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}\mathrm {e} ^{-y^{2}\mathrm {d} y\leqslant {\sqrt {n}I_{2n-2} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 夹挤定理 可以得到共同极限为π 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }{2} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }
由于被积分的函数是一个偶函数 ，
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}dx} 通过替代变量它可以变成一个欧拉积分
∫ 0 ∞ e − t t − 1 2 d t = Γ ( 1 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}dt\,=\,\Gamma \left({\frac {1}{2}\right)} 这里 Γ {\displaystyle ~\Gamma } Γ函数 。这说明了为什么一个半整数的階乘 是π {\displaystyle {\sqrt {\pi }
b ∫ 0 ∞ e − a x b d x = a − 1 b Γ ( 1 b ) . {\displaystyle b\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}dx=a^{-{\frac {1}{b}\,\Gamma \left({\frac {1}{b}\right).}
任一高斯函数 的积分都可以用以下的公式计算：
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a} 更为广泛的形式为：
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c d x = π a e b 2 4 a + c {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}\,e^{\frac {b^{2}{4a}+c}
这一公式在计算有关正态分布 的一些连续概率分布 的数学期望值的时候特别有用，例如对数正态分布 。
令A {\displaystyle A} 正定 的（因而可逆 ）n × n {\displaystyle n\times n} 精密矩阵 协方差矩阵 的逆矩阵），则
∫ − ∞ ∞ e ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ∫ − ∞ ∞ e ( − 1 2 x T A x ) d n x = ( 2 π ) n det A = 1 det ( A / 2 π ) = det ( 2 π A − 1 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\left(-{\frac {1}{2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\left(-{\frac {1}{2}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}{\det A}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})} 这里的积分是对R n 多元正态分布 。
同样，
∫ x k 1 ⋯ x k 2 N e ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N ( A − 1 ) k σ ( 1 ) k σ ( 2 ) ⋯ ( A − 1 ) k σ ( 2 N − 1 ) k σ ( 2 N ) {\displaystyle \int x^{k_{1}\cdots x^{k_{2N}\,e^{\left(-{\frac {1}{2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}{\det A}\,{\frac {1}{2^{N}N!}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)} 这里的 σ 表示的是有序集 {1, ..., 2N } 的不同排列 。等式右边的系数是对 N {\displaystyle N} -1 的 {1, ..., 2N } 中所有的组合的求和（the sum over all combinatorial pairings of {1, ..., 2N } of N copies of A −1 ）。[來源請求]
或者，
∫ f ( x → ) e ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A e ( 1 2 ∑ i , j = 1 n ( A − 1 ) i j ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j ) f ( x → ) | x → = 0 {\displaystyle \int f({\vec {x})e^{\left(-{\frac {1}{2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}\,\left.e^{\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}{\partial \over \partial x_{j}\right)}f({\vec {x})\right|_{\vec {x}=0} 以上积分中的 f {\displaystyle f} 解析函数 ，且函数值的增长必须满足某些边界条件以及另一些特定要求。微分算子的幂可以理解为幂级数 。
虽然泛函积分 [來源請求] ( 2 π ) ∞ {\displaystyle (2\pi )^{\infty } 泛函行列式
∫ f ( x 1 ) ⋯ f ( x 2 N ) e − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 D f ∫ e − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 D f = 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N A − 1 ( x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) ) ⋯ A − 1 ( x σ ( 2 N − 1 ) , x σ ( 2 N ) ) . {\displaystyle {\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})e^{-\iint {\frac {1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}{\mathcal {D}f}{\int e^{-\iint {\frac {1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}{\mathcal {D}f}={\frac {1}{2^{N}N!}\sum _{\sigma \in S_{2N}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).} 则可以解决这个问题。在德维特标记法
如果A是一个对称的正定矩阵，则有（假设均为列向量）
∫ e − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j + ∑ i = 1 n B i x i d n x = ∫ e − 1 2 x → T A x → + B → T x → d n x = ( 2 π ) n det A e 1 2 B → T A − 1 B → . {\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}{\vec {x}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}+{\vec {B}^{T}{\vec {x}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}{\det {A}e^{\frac {1}{2}{\vec {B}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}.}
∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 a 2 d x = π a 2 n + 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}{a^{2}\,dx={\sqrt {\pi }{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − x 2 a 2 d x = n ! 2 a 2 n + 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}{a^{2}\,dx={\frac {n!}{2}a^{2n+2} ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! a n 2 n + 1 π a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{a} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − a x 2 d x = n ! 2 a n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1} ∫ 0 ∞ x n e − a x 2 d x = Γ ( n + 1 2 ) 2 a n + 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2})}{2a^{\frac {n+1}{2} 其中，n 为正整数，“!!”表示双阶乘 莱布尼兹积分规则
∫ − ∞ ∞ x 2 n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n α − 1 2 = π α ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 α ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}{\partial \alpha ^{n}e^{-\alpha x^{2}\,dx~=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}{\partial \alpha ^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}\,dx\\&={\sqrt {\pi }\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}{\partial \alpha ^{n}\alpha ^{-{\frac {1}{2}~={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}\end{aligned} 也可以先分部积分 ，然后找出递推关系 之后求解。
埃里克·韦斯坦因 . Gaussian Integral . MathWorld . Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. Abramowitz, M.; Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. 
提示：此条目的主题不是高斯求積。
