Hiperbolik funksiyalar

Hiperbolik funksiyalar - elementar funksiyalar ailəsindəndir.Triqonometrik funksiyaların analoqu sayılır.Əsas Hiperbolik funksiyalar bunlardır:

• Hiperbolik sinus
• Hiperbolik kosinus
• Hiperbolik tangens
• Hiperbolik kotangens

Tərs Hiperbolik funksiyalar isə bunlardır:

• Hiperbolik arksinus
• Hiperbolik arkskosinus
• Hiperbolik arkstangens
• Hiperbolik arkskotangens

Riyazi hesablamalarda

Hiperbolik funksiyalar aşağıdakı funksiyalardan ibarətdir:

• Hiperbolik sinus:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}{2}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}$

• Hiperbolik kosinus:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}{2}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}$

• Hiperbolik tangens:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}={\frac {e^{x}-e^{-x}{e^{x}+e^{-x}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

• Hiperbolik kotangens:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}={\frac {e^{x}+e^{-x}{e^{x}-e^{-x}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}$

• Hiperbolik sekans:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}={\frac {2e^{x}{e^{2x}+1}$

• Hiperbolik kosekans:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}={\frac {2e^{x}{e^{2x}-1}$

Hiperbolik funksiyalar xəyali vahid (i) dairəsi ilə aşağıdakı kimi də ifade edilir:

• Hiperbolik sinus:

${\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}\sin {\rm {i}x\!}$

• Hiperbolik kosinus:

${\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}x\!}$

• Hiperbolik tangens:

${\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}\tan {\rm {i}x\!}$

• Hiperbolik kotangens:

${\displaystyle \coth x={\rm {i}\cot {\rm {i}x\!}$

• Hiperbolik sekans:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {\rm {i}x}\!}$

• Hiperbolik kosekans:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}\,\csc \,{\rm {i}x\!}$

i, i² = −1 - xəyali vahiddir.

Hiperbolik funksiyaların törəmələri

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\sinh x=\cosh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\cosh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{csch}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{sech}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}\,x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}$

Hiperbolik funksiyaların inteqralları

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}<a^{2}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}>a^{2}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}\right|+C}$

C sabit ədəddir.

Loqarifmaaltı tərs hiperbolik funksiyalar

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}\right);x\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}\ln {\frac {1+x}{1-x};\left|x\right|<1}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}\ln {\frac {x+1}{x-1};\left|x\right|>1}$

${\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}{x};0<x\leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}{\left|x\right|}\right)}$

Teylor ardıcıllığı üçün hiperbolik funksiyalar

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}+{\frac {x^{7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)!}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}+{\frac {x^{6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}{(2n)!}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}{3}+{\frac {2x^{5}{15}-{\frac {17x^{7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}-{\frac {x^{3}{45}+{\frac {2x^{5}{945}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }$ (Laurent ardıcıllığı)

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}{2}+{\frac {5x^{4}{24}-{\frac {61x^{6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}+{\frac {7x^{3}{360}-{\frac {31x^{5}{15120}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }$ (Laurent ardıcıllığı)

${\displaystyle B_{n}\,}$ ninci Bernoulli sayıdır.

${\displaystyle E_{n}\,}$ ninci Eyler sayıdır.

Həmçinin bax

• Hiperbola

Xarici keçidlər

Vikianbarda Hiperbolik funksiyalar ilə əlaqəli mediafayllar var.

• Hiperbolik fonksiyonlar Arxivləşdirilib 2012-02-18 at the Wayback Machine PlanetMath
• Hiperbolik fonksiyonlar (MathWorld)
• GonioLab Arxivləşdirilib 2007-10-06 at the Wayback Machine: Birim çember, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonların gösterimi (Java Web Start)
• Web-tabanlı hiperbolik fonksiyon hesap makinesi