អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ sinh ) កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ cosh ) និង តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ tanh )។

• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}{2}=-i\sin ix\!}$

• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}{2}=\cos ix\!}$

• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}{2}{\frac {e^{x}+e^{-x}{2}={\frac {e^{x}-e^{-x}{e^{x}+e^{-x}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-i\tan ix\!}$

• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}{2}{\frac {e^{x}-e^{-x}{2}={\frac {e^{x}+e^{-x}{e^{x}-e^{-x}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=i\cot ix\!}$

• សេកង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}=\sec {ix}\!}$

• កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}=i\,\csc \,ix\!}$

ដែល ${\displaystyle i\,}$ ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( ${\displaystyle i^{2}=-1\,}$) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។

• សំគាល់៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ ${\displaystyle \sinh ^{2}x\,}$ សំដៅលើ ${\displaystyle (\sinh x)^{2}\,}$ មិនមែន ${\displaystyle \sinh(\sinh x)\,}$ ទេ។

• ${\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}\right)}$

• ${\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}\right);x\geq 1}$

• ${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1}$

• ${\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}{x}\right);0<x\leq 1}$

• ${\displaystyle \operatorname {csch} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}{\left|x\right|}\right)}$

• ${\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1}$

• ${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}$
• ${\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}$
• ${\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}$
• ${\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}$
• ${\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}$
• ${\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\cosh(x)=\sinh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}^{2}(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}(x)}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}^{2}(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}(x)}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{csch(x)}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{sech(x)}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\sinh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}\cdot {\frac {du}{dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\cosh ^{-1}u\right)={\frac {1}{\sqrt {u^{2}-1}\cdot {\frac {du}{dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\tanh ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}\cdot {\frac {du}{dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\operatorname {csch} ^{-1}u\right)={\frac {1}{\left|u\right|{\sqrt {1+u^{2}\cdot -{\frac {du}{dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\operatorname {sech} ^{-1}u\right)={\frac {1}{u{\sqrt {1-u^{2}\cdot -{\frac {du}{dx}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\coth ^{-1}u\right)={\frac {1}{1-u^{2}\cdot {\frac {du}{dx}$

សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}\ln |\cosh ax|+C}$

${\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}\ln |\sinh ax|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}={\frac {1}{a}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}<a^{2}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}={\frac {1}{a}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}>a^{2}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}=-{\frac {1}{a}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+c}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}=-{\frac {1}{a}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}\right|+c}$

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}+{\frac {x^{7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)!}$

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}+{\frac {x^{6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}{(2n)!}$

${\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}{3}+{\frac {2x^{5}{15}-{\frac {17x^{7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}+{\frac {x}{3}-{\frac {x^{3}{45}+{\frac {2x^{5}{945}+\cdots ={\frac {1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }$ (សេរីឡូរង់)

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}{2}+{\frac {5x^{4}{24}-{\frac {61x^{6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}-{\frac {x}{6}+{\frac {7x^{3}{360}-{\frac {31x^{5}{15120}+\cdots ={\frac {1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }$ (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

${\displaystyle B_{n}\,}$ គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី ${\displaystyle n\!}$

${\displaystyle E_{n}\,}$ គឺជាចំនួនអឺលែរទី ${\displaystyle n\!}$

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}$

${\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}\,}$

រូបមន្តមុំឌុប

${\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}$

${\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,}$

រូបមន្តកន្លះមុំ

${\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}={\frac {\cosh x+1}{2}$

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}={\frac {\cosh x-1}{2}$

${\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}$

${\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}$

ដេរីវេនៃ ${\displaystyle \sinh x\,}$ គឺ ${\displaystyle \cosh x\,}$ និង ដេរីវេនៃ ${\displaystyle \cosh x\,}$ គឺ ${\displaystyle \sinh x\,}$ ។

ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$

និង

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}$

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}$

ដូច្នេះ

${\displaystyle \cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}{2}=\cos x}$

${\displaystyle \sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}{2}=i\sin x}$

${\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}$

${\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}$

${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}$

${\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}$

អនុគមន៍អ៊ីពែលីកក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក