Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh , cosh και tanh Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch , sech και coth Στα μαθηματικά , οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh ) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh ), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh ) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[1]
Αλγεβρικές εκφράσεις
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
−
i
sin
i
x
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}{2}=-i\sin ix\!}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
cos
i
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}{2}=\cos ix\!}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
e
x
+
e
−
x
2
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}{2}{\frac {e^{x}+e^{-x}{2}={\frac {e^{x}-e^{-x}{e^{x}+e^{-x}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-i\tan ix\!}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
e
x
−
e
−
x
2
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
=
i
cot
i
x
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}{2}{\frac {e^{x}-e^{-x}{2}={\frac {e^{x}+e^{-x}{e^{x}-e^{-x}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=i\cot ix\!}
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
sec
i
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}=\sec {ix}\!}
cosech
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
i
csc
i
x
{\displaystyle \operatorname {cosech} x={\frac {1}{\sinh x}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}=i\,\csc \,ix\!}
Όπου
i
{\displaystyle i}
φανταστική μονάδα που ορίζεται ως
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
Χρήσιμες σχέσεις
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
Οπότε:
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
sech
(
−
x
)
=
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
cosech
(
−
x
)
=
−
cosech
x
{\displaystyle \operatorname {cosech} (-x)=-\operatorname {cosech} \,x\,\!}
Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις , ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις .
sech
−
1
x
=
cosh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\cosh ^{-1}\left({\frac {1}{x}\right)}
cosech
−
1
x
=
sinh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{x}\right)}
coth
−
1
x
=
tanh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left({\frac {1}{x}\right)}
Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,}
Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[2]
1
2
f
″
=
f
3
−
f
;
f
(
0
)
=
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους
sinh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}\right)}
cosh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
{\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}\right);x\geq 1}
tanh
−
1
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1}
sech
−
1
x
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}{x}\right);0<x\leq 1}
cosech
−
1
x
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}{\left|x\right|}\right)}
coth
−
1
x
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1}
d
d
x
sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d
d
x
cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d
d
x
tanh
(
x
)
=
1
−
tanh
2
(
x
)
=
sech
2
(
x
)
=
1
/
cosh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d
d
x
coth
(
x
)
=
1
−
coth
2
(
x
)
=
−
csch
2
(
x
)
=
−
1
/
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d
d
x
csch(x)
=
−
coth
(
x
)
csch(x)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{csch(x)}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}\,}
d
d
x
sech(x)
=
−
tanh
(
x
)
sech(x)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\ {\hbox{sech(x)}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}\,}
d
d
x
(
sinh
−
1
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}
d
d
x
(
cosh
−
1
x
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}
d
d
x
(
tanh
−
1
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}
d
d
x
(
csch
−
1
x
)
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}
d
d
x
(
sech
−
1
x
)
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}
d
d
x
(
coth
−
1
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}
∫
sinh
a
x
d
x
=
1
a
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x
d
x
=
1
a
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x
d
x
=
1
a
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x
d
x
=
1
a
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}\ln(\sinh ax)+C}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
sinh
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}
∫
d
u
u
2
−
a
2
=
cosh
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
1
a
tanh
−
1
(
u
a
)
+
C
;
u
2
<
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}={\frac {1}{a}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}<a^{2}
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
1
a
coth
−
1
(
u
a
)
+
C
;
u
2
>
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}={\frac {1}{a}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C;u^{2}>a^{2}
∫
d
u
u
a
2
−
u
2
=
−
1
a
sech
−
1
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}=-{\frac {1}{a}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}\right)+C}
∫
d
u
u
a
2
+
u
2
=
−
1
a
csch
−
1
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}=-{\frac {1}{a}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}\right|+C}
Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.
Σχέσεις με σειρά Τέιλορ Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}{3!}+{\frac {x^{5}{5!}+{\frac {x^{7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}{(2n+1)!}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}{2!}+{\frac {x^{4}{4!}+{\frac {x^{6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}{(2n)!}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}{3}+{\frac {2x^{5}{15}-{\frac {17x^{7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}+{\frac {x}{3}-{\frac {x^{3}{45}+{\frac {2x^{5}{945}+\cdots ={\frac {1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}{2}+{\frac {5x^{4}{24}-{\frac {61x^{6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}{(2n)!},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}-{\frac {x}{6}+{\frac {7x^{3}{360}-{\frac {31x^{5}{15120}+\cdots ={\frac {1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi }
όπου
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
αριθμός Μπερνούλι
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
Αναφορές
↑ Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι . Ατλαντίς. ISBN 9600700672 . ↑ Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent» . MathWorld. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2008 . Δείτε επίσης 
