Лъч през единичната хипербола в точка , където е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста . За точките на хиперболата под оста , площта се счита за отрицателна.
Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометриятригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен. Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила , докато за хиперболическите , което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система. Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.
Стандартни аналитични изрази
sinh, cosh и tanhcsch, sech и coth(a) cosh(x) е средно аритметичното на ex и e−x(b) sinh(x) е половината разлика на ex и e−x
Хиперболичните функции са:
Хиперболичен синус:
.
Хиперболичен косинус:
.
Хиперболичен тангенс:
.
Хиперболичен котангенс:
Хиперболичен секанс:
Хиперболичен косеканс:
Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма: