Distribució logística generalitzada

El terme distribució logística generalitzada s'utilitza com a nom de diverses famílies de distribucions de probabilitat. Per exemple, Johnson et al.^[1] enumeren quatre formes, que s'enumeren a continuació. Una família descrita aquí també s'ha anomenat distribució logística obliqua. Per a altres famílies de distribucions que també s'han anomenat «distribucions logístiques generalitzades» (vegeu la «distribució log-logística desplaçada», que és una generalització de la distribució log-logística).

Les definicions següents són per a versions estandarditzades de les famílies, que es poden ampliar a la forma completa com una família a escala-localització. Cadascun d'ells està definit mitjançant la funció de distribució acumulada (F) o la funció de densitat de probabilitat (ƒ), i està definit a (-∞,∞).

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1},\quad \alpha >0.}$

Aquest tipus també ha estat anomenat distribució «desviació-logística».

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}{(1+e^{-x})^{\alpha },\quad \alpha >0.}$

La funció de densitat de probabilitat corresponent és:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}{(1+e^{-x})^{\alpha +1},\quad \alpha >0.}$

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}{\frac {e^{-\alpha x}{(1+e^{-x})^{2\alpha },\quad \alpha >0.}$

On B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2},\quad -\alpha <t<\alpha .}$

La funció de distribució acumulada corresponent és:

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )},\quad \alpha >0.}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}{\frac {e^{-\beta x}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta },\quad \alpha ,\beta >0.}$

De nou, B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )},\quad -\alpha <t<\beta .}$

Aquest tipus també es coneix com la «funció beta exponencial generalitzada del segon tipus».^[1]

La funció de distribució acumulada corresponent és:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )},\quad \alpha ,\beta >0.}$

• Distribució de Champernowne, una altra generalització de la distribució logística.